Theorem bcp1m1 11181

Description: Compute the binomial coefficient of ( N + 1 ) over ( N - 1 ) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1m1	|- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) / 2 ) )

Proof of Theorem bcp1m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 9582	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
2		nn0z 9643	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
3		peano2zm 9661	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		bccmpl 11170	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) _C ( N - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - ( N - 1 ) ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 415	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - ( N - 1 ) ) ) )
7		nn0cn 9552	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
8		1cnd 8332	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
9	7, 8, 8	pnncand 8666	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - ( N - 1 ) ) = ( 1 + 1 ) )
10		df-2 9342	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
11	9, 10	eqtr4di 2289	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - ( N - 1 ) ) = 2 )
12	11	oveq2d 6091	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - ( N - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C 2 ) )
13		bcn2 11180	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 2 ) = ( ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) - 1 ) ) / 2 ) )
14	1, 13	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 2 ) = ( ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) - 1 ) ) / 2 ) )
15		ax-1cn 8262	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
16		pncan 8522	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
17	7, 15, 16	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
18	17	oveq2d 6091	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( N + 1 ) x. N ) )
19	18	oveq1d 6090	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) x. ( ( N + 1 ) - 1 ) ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) / 2 ) )
20	14, 19	eqtrd 2271	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C 2 ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) / 2 ) )
21	12, 20	eqtrd 2271	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) / 2 ) )
22	6, 21	eqtrd 2271	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) _C ( N - 1 ) ) = ( ( ( N + 1 ) x. N ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6075   CCcc 8167   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   / cdiv 8992   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   _C cbc 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164

This theorem is referenced by:  arisum  12243