ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcp1m1 GIF version

Theorem bcp1m1 10288
Description: Compute the binomial coefficient of (𝑁 + 1) over (𝑁 − 1) (Contributed by Scott Fenton, 11-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcp1m1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))

Proof of Theorem bcp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 8811 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 nn0z 8868 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2zm 8886 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5 bccmpl 10277 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
61, 4, 5syl2anc 404 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))))
7 nn0cn 8781 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
8 1cnd 7601 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
97, 8, 8pnncand 7929 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = (1 + 1))
10 df-2 8579 . . . . 5 2 = (1 + 1)
119, 10syl6eqr 2145 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1)) = 2)
1211oveq2d 5706 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
13 bcn2 10287 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
141, 13syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2))
15 ax-1cn 7535 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
16 pncan 7785 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
177, 15, 16sylancl 405 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1817oveq2d 5706 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
1918oveq1d 5705 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) − 1)) / 2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
2014, 19eqtrd 2127 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C2) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
2112, 20eqtrd 2127 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − (𝑁 − 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
226, 21eqtrd 2127 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1296  wcel 1445  (class class class)co 5690  cc 7445  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452  cmin 7750   / cdiv 8236  2c2 8571  0cn0 8771  cz 8848  Ccbc 10270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-fz 9574  df-seqfrec 10001  df-fac 10249  df-bc 10271
This theorem is referenced by:  arisum  11041
  Copyright terms: Public domain W3C validator