Theorem bezoutlemmo 12009

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
bezoutlemgcd.2	|- ( ph -> B e. ZZ )
bezoutlemgcd.3	|- ( ph -> D e. NN0 )
bezoutlemgcd.4	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
bezoutlemmo.5	|- ( ph -> E e. NN0 )
bezoutlemmo.6	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	|- ( ph -> D = E )

Distinct variable groups:   z, D   z, E   ph, z

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 |- ( ph -> D e. NN0 )
2		bezoutlemmo.5	. 2 |- ( ph -> E e. NN0 )
3	1	nn0zd 9375	. . . 4 |- ( ph -> D e. ZZ )
4		iddvds 11813	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D || D )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D || D )
6		breq1 4008	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || D <-> D || D ) )
7		breq1 4008	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || E <-> D || E ) )
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( D || D <-> D || E ) ) )
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
11		r19.26 2603	. . . . . 6 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
12	9, 10, 11	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13		biantr 952	. . . . . 6 |- ( ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z || D <-> z || E ) )
14	13	ralimi 2540	. . . . 5 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
15	12, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
16	8, 15, 3	rspcdva 2848	. . 3 |- ( ph -> ( D || D <-> D || E ) )
17	5, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> D || E )
18	2	nn0zd 9375	. . . 4 |- ( ph -> E e. ZZ )
19		iddvds 11813	. . . 4 |- ( E e. ZZ -> E || E )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E || E )
21		breq1 4008	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || D <-> E || D ) )
22		breq1 4008	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || E <-> E || E ) )
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 |- ( z = E -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( E || D <-> E || E ) ) )
24	23, 15, 18	rspcdva 2848	. . 3 |- ( ph -> ( E || D <-> E || E ) )
25	20, 24	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> E || D )
26		dvdseq 11856	. 2 |- ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 ) /\ ( D || E /\ E || D ) ) -> D = E )
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1239	1 |- ( ph -> D = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4005   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12010