Theorem bezoutlemmo 11961

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
bezoutlemgcd.2	|- ( ph -> B e. ZZ )
bezoutlemgcd.3	|- ( ph -> D e. NN0 )
bezoutlemgcd.4	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
bezoutlemmo.5	|- ( ph -> E e. NN0 )
bezoutlemmo.6	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	|- ( ph -> D = E )

Distinct variable groups:   z, D   z, E   ph, z

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 |- ( ph -> D e. NN0 )
2		bezoutlemmo.5	. 2 |- ( ph -> E e. NN0 )
3	1	nn0zd 9332	. . . 4 |- ( ph -> D e. ZZ )
4		iddvds 11766	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D || D )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D || D )
6		breq1 3992	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || D <-> D || D ) )
7		breq1 3992	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || E <-> D || E ) )
8	6, 7	bibi12d 234	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( D || D <-> D || E ) ) )
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
11		r19.26 2596	. . . . . 6 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
12	9, 10, 11	sylanbrc 415	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13		biantr 947	. . . . . 6 |- ( ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z || D <-> z || E ) )
14	13	ralimi 2533	. . . . 5 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
15	12, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
16	8, 15, 3	rspcdva 2839	. . 3 |- ( ph -> ( D || D <-> D || E ) )
17	5, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> D || E )
18	2	nn0zd 9332	. . . 4 |- ( ph -> E e. ZZ )
19		iddvds 11766	. . . 4 |- ( E e. ZZ -> E || E )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E || E )
21		breq1 3992	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || D <-> E || D ) )
22		breq1 3992	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || E <-> E || E ) )
23	21, 22	bibi12d 234	. . . 4 |- ( z = E -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( E || D <-> E || E ) ) )
24	23, 15, 18	rspcdva 2839	. . 3 |- ( ph -> ( E || D <-> E || E ) )
25	20, 24	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> E || D )
26		dvdseq 11808	. 2 |- ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 ) /\ ( D || E /\ E || D ) ) -> D = E )
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1234	1 |- ( ph -> D = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3989   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11962