ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemmo Unicode version

Theorem bezoutlemmo 11273
Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezoutlemgcd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezoutlemgcd.3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
bezoutlemgcd.4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
bezoutlemmo.5  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
bezoutlemmo.6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlemmo  |-  ( ph  ->  D  =  E )
Distinct variable groups:    z, D    z, E    ph, z
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.3 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
2 bezoutlemmo.5 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
31nn0zd 8866 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
4 iddvds 11087 . . . 4  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  ||  D )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  D  ||  D )
6 breq1 3848 . . . . 5  |-  ( z  =  D  ->  (
z  ||  D  <->  D  ||  D
) )
7 breq1 3848 . . . . 5  |-  ( z  =  D  ->  (
z  ||  E  <->  D  ||  E
) )
86, 7bibi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  D  ->  (
( z  ||  D  <->  z 
||  E )  <->  ( D  ||  D  <->  D  ||  E ) ) )
9 bezoutlemgcd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
10 bezoutlemmo.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )
11 r19.26 2497 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z  ||  E 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )  <->  ( A. z  e.  ZZ  (
z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  A. z  e.  ZZ  (
z  ||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
129, 10, 11sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( ( z  ||  D 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z 
||  E  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) ) )
13 biantr 898 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z  ||  E 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )  ->  (
z  ||  D  <->  z  ||  E ) )
1413ralimi 2438 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ZZ  (
( z  ||  D  <->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) )  /\  ( z  ||  E 
<->  ( z  ||  A  /\  z  ||  B ) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D 
<->  z  ||  E ) )
1512, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ZZ  ( z  ||  D  <->  z 
||  E ) )
168, 15, 3rspcdva 2727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  ||  D  <->  D 
||  E ) )
175, 16mpbid 145 . 2  |-  ( ph  ->  D  ||  E )
182nn0zd 8866 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
19 iddvds 11087 . . . 4  |-  ( E  e.  ZZ  ->  E  ||  E )
2018, 19syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  E  ||  E )
21 breq1 3848 . . . . 5  |-  ( z  =  E  ->  (
z  ||  D  <->  E  ||  D
) )
22 breq1 3848 . . . . 5  |-  ( z  =  E  ->  (
z  ||  E  <->  E  ||  E
) )
2321, 22bibi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  E  ->  (
( z  ||  D  <->  z 
||  E )  <->  ( E  ||  D  <->  E  ||  E ) ) )
2423, 15, 18rspcdva 2727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  ||  D  <->  E 
||  E ) )
2520, 24mpbird 165 . 2  |-  ( ph  ->  E  ||  D )
26 dvdseq 11127 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e.  NN0 )  /\  ( D  ||  E  /\  E  ||  D ) )  ->  D  =  E )
271, 2, 17, 25, 26syl22anc 1175 1  |-  ( ph  ->  D  =  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3845   NN0cn0 8673   ZZcz 8750    || cdvds 11074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-dvds 11075
This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11274
  Copyright terms: Public domain W3C validator