Theorem bezoutlemmo 12657

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
bezoutlemgcd.2	|- ( ph -> B e. ZZ )
bezoutlemgcd.3	|- ( ph -> D e. NN0 )
bezoutlemgcd.4	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
bezoutlemmo.5	|- ( ph -> E e. NN0 )
bezoutlemmo.6	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	|- ( ph -> D = E )

Distinct variable groups:   z, D   z, E   ph, z

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 |- ( ph -> D e. NN0 )
2		bezoutlemmo.5	. 2 |- ( ph -> E e. NN0 )
3	1	nn0zd 9661	. . . 4 |- ( ph -> D e. ZZ )
4		iddvds 12445	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D || D )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D || D )
6		breq1 4096	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || D <-> D || D ) )
7		breq1 4096	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || E <-> D || E ) )
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( D || D <-> D || E ) ) )
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
11		r19.26 2660	. . . . . 6 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
12	9, 10, 11	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13		biantr 961	. . . . . 6 |- ( ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z || D <-> z || E ) )
14	13	ralimi 2596	. . . . 5 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
15	12, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
16	8, 15, 3	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ph -> ( D || D <-> D || E ) )
17	5, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> D || E )
18	2	nn0zd 9661	. . . 4 |- ( ph -> E e. ZZ )
19		iddvds 12445	. . . 4 |- ( E e. ZZ -> E || E )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E || E )
21		breq1 4096	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || D <-> E || D ) )
22		breq1 4096	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || E <-> E || E ) )
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 |- ( z = E -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( E || D <-> E || E ) ) )
24	23, 15, 18	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ph -> ( E || D <-> E || E ) )
25	20, 24	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> E || D )
26		dvdseq 12489	. 2 |- ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 ) /\ ( D || E /\ E || D ) ) -> D = E )
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1275	1 |- ( ph -> D = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   || cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12658