Theorem bezoutlemmo 12808

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
bezoutlemgcd.2	|- ( ph -> B e. ZZ )
bezoutlemgcd.3	|- ( ph -> D e. NN0 )
bezoutlemgcd.4	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
bezoutlemmo.5	|- ( ph -> E e. NN0 )
bezoutlemmo.6	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	|- ( ph -> D = E )

Distinct variable groups:   z, D   z, E   ph, z

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 |- ( ph -> D e. NN0 )
2		bezoutlemmo.5	. 2 |- ( ph -> E e. NN0 )
3	1	nn0zd 9777	. . . 4 |- ( ph -> D e. ZZ )
4		iddvds 12596	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D || D )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D || D )
6		breq1 4134	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || D <-> D || D ) )
7		breq1 4134	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || E <-> D || E ) )
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( D || D <-> D || E ) ) )
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
11		r19.26 2677	. . . . . 6 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
12	9, 10, 11	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13		biantr 965	. . . . . 6 |- ( ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z || D <-> z || E ) )
14	13	ralimi 2613	. . . . 5 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
15	12, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
16	8, 15, 3	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ph -> ( D || D <-> D || E ) )
17	5, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> D || E )
18	2	nn0zd 9777	. . . 4 |- ( ph -> E e. ZZ )
19		iddvds 12596	. . . 4 |- ( E e. ZZ -> E || E )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E || E )
21		breq1 4134	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || D <-> E || D ) )
22		breq1 4134	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || E <-> E || E ) )
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 |- ( z = E -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( E || D <-> E || E ) ) )
24	23, 15, 18	rspcdva 2934	. . 3 |- ( ph -> ( E || D <-> E || E ) )
25	20, 24	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> E || D )
26		dvdseq 12640	. 2 |- ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 ) /\ ( D || E /\ E || D ) ) -> D = E )
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1279	1 |- ( ph -> D = E )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   class class class wbr 4131   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580

This theorem is used by:  bezoutlemeu  12809