Theorem bezoutlemmo 11939

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
bezoutlemgcd.2	|- ( ph -> B e. ZZ )
bezoutlemgcd.3	|- ( ph -> D e. NN0 )
bezoutlemgcd.4	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
bezoutlemmo.5	|- ( ph -> E e. NN0 )
bezoutlemmo.6	|- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	|- ( ph -> D = E )

Distinct variable groups:   z, D   z, E   ph, z

Allowed substitution hints:   A( z)   B( z)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 |- ( ph -> D e. NN0 )
2		bezoutlemmo.5	. 2 |- ( ph -> E e. NN0 )
3	1	nn0zd 9311	. . . 4 |- ( ph -> D e. ZZ )
4		iddvds 11744	. . . 4 |- ( D e. ZZ -> D || D )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> D || D )
6		breq1 3985	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || D <-> D || D ) )
7		breq1 3985	. . . . 5 |- ( z = D -> ( z || E <-> D || E ) )
8	6, 7	bibi12d 234	. . . 4 |- ( z = D -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( D || D <-> D || E ) ) )
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) )
11		r19.26 2592	. . . . . 6 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) <-> ( A. z e. ZZ ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ A. z e. ZZ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
12	9, 10, 11	sylanbrc 414	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) )
13		biantr 942	. . . . . 6 |- ( ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> ( z || D <-> z || E ) )
14	13	ralimi 2529	. . . . 5 |- ( A. z e. ZZ ( ( z || D <-> ( z || A /\ z || B ) ) /\ ( z || E <-> ( z || A /\ z || B ) ) ) -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
15	12, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ZZ ( z || D <-> z || E ) )
16	8, 15, 3	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ph -> ( D || D <-> D || E ) )
17	5, 16	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> D || E )
18	2	nn0zd 9311	. . . 4 |- ( ph -> E e. ZZ )
19		iddvds 11744	. . . 4 |- ( E e. ZZ -> E || E )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ph -> E || E )
21		breq1 3985	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || D <-> E || D ) )
22		breq1 3985	. . . . 5 |- ( z = E -> ( z || E <-> E || E ) )
23	21, 22	bibi12d 234	. . . 4 |- ( z = E -> ( ( z || D <-> z || E ) <-> ( E || D <-> E || E ) ) )
24	23, 15, 18	rspcdva 2835	. . 3 |- ( ph -> ( E || D <-> E || E ) )
25	20, 24	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> E || D )
26		dvdseq 11786	. 2 |- ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 ) /\ ( D || E /\ E || D ) ) -> D = E )
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1229	1 |- ( ph -> D = E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   class class class wbr 3982   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  11940