Theorem bezoutlemmo 12567

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
bezoutlemmo.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2		bezoutlemmo.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
3	1	nn0zd 9590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4		iddvds 12355	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
6		breq1 4089	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
7		breq1 4089	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸)))
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11		r19.26 2657	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
12	9, 10, 11	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
13		biantr 958	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
14	13	ralimi 2593	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
15	12, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
16	8, 15, 3	rspcdva 2913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
17	5, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
18	2	nn0zd 9590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		iddvds 12355	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 𝐸)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐸)
21		breq1 4089	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐷))
22		breq1 4089	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸)))
24	23, 15, 18	rspcdva 2913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
25	20, 24	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐷)
26		dvdseq 12399	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷 ∥ 𝐸 ∧ 𝐸 ∥ 𝐷)) → 𝐷 = 𝐸)
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1272	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4086  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469   ∥ cdvds 12338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12568