Theorem bezoutlemmo 12246

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
bezoutlemmo.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2		bezoutlemmo.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
3	1	nn0zd 9475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4		iddvds 12034	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
6		breq1 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
7		breq1 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸)))
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11		r19.26 2631	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
12	9, 10, 11	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
13		biantr 954	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
14	13	ralimi 2568	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
15	12, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
16	8, 15, 3	rspcdva 2881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
17	5, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
18	2	nn0zd 9475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		iddvds 12034	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 𝐸)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐸)
21		breq1 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐷))
22		breq1 4046	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸)))
24	23, 15, 18	rspcdva 2881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
25	20, 24	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐷)
26		dvdseq 12078	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷 ∥ 𝐸 ∧ 𝐸 ∥ 𝐷)) → 𝐷 = 𝐸)
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1250	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   class class class wbr 4043  ℕ₀cn0 9277  ℤcz 9354   ∥ cdvds 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-dvds 12018

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12247