Theorem bezoutlemmo 12576

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
bezoutlemmo.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2		bezoutlemmo.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
3	1	nn0zd 9599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4		iddvds 12364	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
6		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
7		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸)))
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11		r19.26 2659	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
12	9, 10, 11	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
13		biantr 960	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
14	13	ralimi 2595	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
15	12, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
16	8, 15, 3	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
17	5, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
18	2	nn0zd 9599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		iddvds 12364	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 𝐸)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐸)
21		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐷))
22		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸)))
24	23, 15, 18	rspcdva 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
25	20, 24	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐷)
26		dvdseq 12408	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷 ∥ 𝐸 ∧ 𝐸 ∥ 𝐷)) → 𝐷 = 𝐸)
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1274	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  bezoutlemeu  12577