Theorem bezoutlemmo 12808

Description: Lemma for Bézout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
bezoutlemmo.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
bezoutlemmo.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemmo	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
2		bezoutlemmo.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
3	1	nn0zd 9777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4		iddvds 12596	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐷)
6		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐷))
7		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
8	6, 7	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐷 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸)))
9		bezoutlemgcd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
10		bezoutlemmo.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
11		r19.26 2677	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
12	9, 10, 11	sylanbrc 421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
13		biantr 965	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
14	13	ralimi 2613	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
15	12, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸))
16	8, 15, 3	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ 𝐸))
17	5, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
18	2	nn0zd 9777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		iddvds 12596	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∥ 𝐸)
20	18, 19	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐸)
21		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐷))
22		breq1 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → (𝑧 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
23	21, 22	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐸 → ((𝑧 ∥ 𝐷 ↔ 𝑧 ∥ 𝐸) ↔ (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸)))
24	23, 15, 18	rspcdva 2934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∥ 𝐷 ↔ 𝐸 ∥ 𝐸))
25	20, 24	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∥ 𝐷)
26		dvdseq 12640	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷 ∥ 𝐸 ∧ 𝐸 ∥ 𝐷)) → 𝐷 = 𝐸)
27	1, 2, 17, 25, 26	syl22anc 1279	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4131  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655   ∥ cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580

This theorem is used by:  bezoutlemeu  12809