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Theorem cau4 10774
Description: Change the base of a Cauchy criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cau4.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
Assertion
Ref Expression
cau4  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, F    j, M, k, x    j, N, k, x    j, Z, k, x    j, W, k, x

Proof of Theorem cau4
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9227 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 cau3.1 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32rexuz3 10648 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
41, 3syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
5 eluzelz 9231 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
6 cau4.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
76rexuz3 10648 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
85, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
94, 8bitr4d 190 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
109, 2eleq2s 2207 . . 3  |-  ( N  e.  Z  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
)  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  A. y  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y )
) )  <  x
) ) )
1110ralbidv 2409 . 2  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x ) ) )
122cau3 10773 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x ) )
136cau3 10773 . 2  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. y  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  y ) ) )  <  x ) )
1411, 12, 133bitr4g 222 1  |-  ( N  e.  Z  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   CCcc 7539    < clt 7718    - cmin 7850   ZZcz 8952   ZZ>=cuz 9222   RR+crp 9337   abscabs 10655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-rp 9338  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657
This theorem is referenced by:  climcaucn  11006
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