Theorem cau3 11501

Description: Convert between three-quantifier and four-quantifier versions of the Cauchy criterion. (In particular, the four-quantifier version has no occurrence of j in the assertion, so it can be used with rexanuz 11374 and friends.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
cau3	|- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )

Distinct variable groups:   j, k, m, x, F   j, M, k, x   j, Z, k, x

Allowed substitution hints:   M( m)   Z( m)

Proof of Theorem cau3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cau3.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		uzssz 9688	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
3	1, 2	eqsstri 3229	. . 3 |- Z C_ ZZ
4		id 19	. . 3 |- ( ( F ` k ) e. CC -> ( F ` k ) e. CC )
5		eleq1 2269	. . 3 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` j ) e. CC ) )
6		eleq1 2269	. . 3 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> ( F ` m ) e. CC ) )
7		abssub 11487	. . . 4 |- ( ( ( F ` j ) e. CC /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` j ) - ( F ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
8	7	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( T. /\ ( F ` j ) e. CC /\ ( F ` k ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` j ) - ( F ` k ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
9		abssub 11487	. . . 4 |- ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - ( F ` m ) ) ) )
10	9	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( T. /\ ( F ` m ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - ( F ` j ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` j ) - ( F ` m ) ) ) )
11		abs3lem 11497	. . . 4 |- ( ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` m ) e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
12	11	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( T. /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` m ) e. CC ) /\ ( ( F ` j ) e. CC /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( abs ` ( ( F ` j ) - ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )
13	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12	cau3lem 11500	. 2 |- ( T. -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
14	13	mptru 1382	1 |- ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` m ) ) ) < x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2177   A.wral 2485   E.wrex 2486   class class class wbr 4051   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   CCcc 7943   RRcr 7944   < clt 8127   - cmin 8263   / cdiv 8765   2c2 9107   ZZcz 9392   ZZ>=cuz 9668   RR+crp 9795   abscabs 11383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-rp 9796  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385

This theorem is referenced by:  cau4  11502  serf0  11738