ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cau3 Unicode version

Theorem cau3 10880
Description: Convert between three-quantifier and four-quantifier versions of the Cauchy criterion. (In particular, the four-quantifier version has no occurrence of  j in the assertion, so it can be used with rexanuz 10753 and friends.) (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
cau3  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, F    j, M, k, x    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    M( m)    Z( m)

Proof of Theorem cau3
StepHypRef Expression
1 cau3.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 uzssz 9338 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
31, 2eqsstri 3124 . . 3  |-  Z  C_  ZZ
4 id 19 . . 3  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5 eleq1 2200 . . 3  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  j )  e.  CC ) )
6 eleq1 2200 . . 3  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  m )  e.  CC ) )
7 abssub 10866 . . . 4  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  CC  /\  ( F `  k )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( F `  j
)  -  ( F `
 k ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) ) )
873adant1 999 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( F `
 j )  e.  CC  /\  ( F `
 k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( F `
 j )  -  ( F `  k ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) ) )
9 abssub 10866 . . . 4  |-  ( ( ( F `  m
)  e.  CC  /\  ( F `  j )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( F `  m
)  -  ( F `
 j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  ( F `  m )
) ) )
1093adant1 999 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( F `
 m )  e.  CC  /\  ( F `
 j )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  ( F `  j ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  j )  -  ( F `  m ) ) ) )
11 abs3lem 10876 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( F `  m
)  e.  CC )  /\  ( ( F `
 j )  e.  CC  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j )
) )  <  (
x  /  2 )  /\  ( abs `  (
( F `  j
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
12113adant1 999 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( F `  m )  e.  CC )  /\  (
( F `  j
)  e.  CC  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( F `  j )  -  ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
133, 4, 5, 6, 8, 10, 12cau3lem 10879 . 2  |-  ( T. 
->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) ) )
1413mptru 1340 1  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  ( F `
 j ) ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\ 
A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  m ) ) )  <  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612    < clt 7793    - cmin 7926    / cdiv 8425   2c2 8764   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   RR+crp 9434   abscabs 10762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764
This theorem is referenced by:  cau4  10881  serf0  11114
  Copyright terms: Public domain W3C validator