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Theorem climshftlemg 11310
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
climshftlemg ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlemg
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 9293 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
21ancoms 268 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
32adantlr 477 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
4 eluzsub 9557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
543com12 1207 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
653expa 1203 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘))
7 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑛𝑀)))
87eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((𝐹𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ))
97oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((𝐹𝑚) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴))
109fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)))
1110breq1d 4014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛𝑀) → ((abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
128, 11anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛𝑀) → (((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
1312rspcv 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑀) ∈ (ℤ𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
146, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
1514adantllr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
16 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝐹𝑉)
17 zcn 9258 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
19 eluzelcn 9539 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
2019adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
21 shftvalg 10845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛𝑀)))
2221eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ))
2321oveq1d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴))
2423fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)))
2524breq1d 4014 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
2622, 25anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2716, 18, 20, 26syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2827adantlr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
2915, 28sylibrd 169 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3029ralrimdva 2557 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
31 fveq2 5516 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ𝑚) = (ℤ‘(𝑘 + 𝑀)))
3231raleqdv 2679 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3332rspcev 2842 . . . . . 6 (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
343, 30, 33syl6an 1434 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3534rexlimdva 2594 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3635ralimdv 2545 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
3736anim2d 337 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
38 simpr 110 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
39 eqidd 2178 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑚))
4038, 39clim 11289 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
41 ovshftex 10828 . . . . 5 ((𝐹𝑉𝑀 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
4241ancoms 268 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
4317, 42sylan 283 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
44 eqidd 2178 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
4543, 44clim 11289 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
4637, 40, 453imtr4d 203 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2738   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809   + caddc 7814   < clt 7992  cmin 8128  cz 9253  cuz 9528  +crp 9653   shift cshi 10823  abscabs 11006  cli 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-shft 10824  df-clim 11287
This theorem is referenced by:  climshft  11312
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