Theorem climshftlemg 11243

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 9231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	adantlr 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
4		eluzsub 9495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	4	3com12 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	3expa 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
8	7	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
9	7	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((𝐹‘𝑚) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴))
10	9	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
11	10	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
12	8, 11	anbi12d 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
13	12	rspcv 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
15	14	adantllr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
16		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17		zcn 9196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		eluzelcn 9477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
21		shftvalg 10778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
22	21	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
23	21	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴))
24	23	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
25	24	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
26	22, 25	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
28	27	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
29	15, 28	sylibrd 168	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
30	29	ralrimdva 2546	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
31		fveq2 5486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)))
32	31	raleqdv 2667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
33	32	rspcev 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
34	3, 30, 33	syl6an 1422	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
35	34	rexlimdva 2583	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
36	35	ralimdv 2534	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
37	36	anim2d 335	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
38		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
39		eqidd 2166	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
40	38, 39	clim 11222	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
41		ovshftex 10761	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
42	41	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
43	17, 42	sylan 281	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
44		eqidd 2166	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
45	43, 44	clim 11222	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
46	37, 40, 45	3imtr4d 202	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  Vcvv 2726   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756   < clt 7933   − cmin 8069  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ℝ⁺crp 9589   shift cshi 10756  abscabs 10939   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-shft 10757  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  climshft  11245