Theorem climshftlemg 11324

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
climshftlemg	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climshftlemg

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 9307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ)
4		eluzsub 9571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	4	3com12 1208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	3expa 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
8	7	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
9	7	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((𝐹‘𝑚) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴))
10	9	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
11	10	breq1d 4025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → ((abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
12	8, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑛 − 𝑀) → (((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
13	12	rspcv 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 − 𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
15	14	adantllr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
16		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝐹 ∈ 𝑉)
17		zcn 9272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℂ)
19		eluzelcn 9553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)) → 𝑛 ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
21		shftvalg 10859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)))
22	21	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ))
23	21	oveq1d 5903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴) = ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴))
24	23	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) = (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)))
25	24	breq1d 4025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥))
26	22, 25	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
27	16, 18, 20, 26	syl3anc 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
28	27	adantlr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → ((((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘(𝑛 − 𝑀)) − 𝐴)) < 𝑥)))
29	15, 28	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → (((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
30	29	ralrimdva 2567	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
31		fveq2 5527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀)))
32	31	raleqdv 2689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝑀) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
33	32	rspcev 2853	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 𝑀) ∈ ℤ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 𝑀))(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))
34	3, 30, 33	syl6an 1444	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
35	34	rexlimdva 2604	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
36	35	ralimdv 2555	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥)))
37	36	anim2d 337	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
38		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
39		eqidd 2188	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
40	38, 39	clim 11303	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℤ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑚) − 𝐴)) < 𝑥))))
41		ovshftex 10842	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
42	41	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
43	17, 42	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝑀) ∈ V)
44		eqidd 2188	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) = ((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛))
45	43, 44	clim 11303	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → ((𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹 shift 𝑀)‘𝑛) − 𝐴)) < 𝑥))))
46	37, 40, 45	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 shift 𝑀) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466  Vcvv 2749   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7823   + caddc 7828   < clt 8006   − cmin 8142  ℤcz 9267  ℤ_≥cuz 9542  ℝ⁺crp 9667   shift cshi 10837  abscabs 11020   ⇝ cli 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-shft 10838  df-clim 11301

This theorem is referenced by:  climshft  11326