ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climsubc1 Unicode version

Theorem climsubc1 11069
Description: Limit of a constant  C subtracted from each term of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climaddc1.5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
climaddc1.6  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
climaddc1.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climsubc1.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  C ) )
Assertion
Ref Expression
climsubc1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( A  -  C ) )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    W( k)

Proof of Theorem climsubc1
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climadd.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
4 climaddc1.6 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
5 climaddc1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 0z 9033 . . 3  |-  0  e.  ZZ
7 uzssz 9313 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  C_  ZZ
8 zex 9031 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
97, 8climconst2 11028 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ZZ  X.  { C } )  ~~>  C )
105, 6, 9sylancl 409 . 2  |-  ( ph  ->  ( ZZ  X.  { C } )  ~~>  C )
11 climaddc1.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
12 eluzelz 9303 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1312, 1eleq2s 2212 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
14 fvconst2g 5602 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  X.  { C } ) `  k )  =  C )
155, 13, 14syl2an 287 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { C } ) `  k
)  =  C )
165adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
1715, 16eqeltrd 2194 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { C } ) `  k
)  e.  CC )
18 climsubc1.h . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  C ) )
1915oveq2d 5758 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  -  ( ( ZZ  X.  { C } ) `  k
) )  =  ( ( F `  k
)  -  C ) )
2018, 19eqtr4d 2153 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( ( ZZ  X.  { C } ) `  k ) ) )
211, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20climsub 11065 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( A  -  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   {csn 3497   class class class wbr 3899    X. cxp 4507   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-clim 11016
This theorem is referenced by:  clim2ser  11074
  Copyright terms: Public domain W3C validator