ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climsubc1 Unicode version

Theorem climsubc1 11307
Description: Limit of a constant  C subtracted from each term of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climadd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climadd.4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climaddc1.5  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
climaddc1.6  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
climaddc1.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climsubc1.h  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  C ) )
Assertion
Ref Expression
climsubc1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( A  -  C ) )
Distinct variable groups:    C, k    k, F    ph, k    A, k   
k, G    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    W( k)

Proof of Theorem climsubc1
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climadd.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climadd.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
4 climaddc1.6 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
5 climaddc1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 0z 9235 . . 3  |-  0  e.  ZZ
7 uzssz 9518 . . . 4  |-  ( ZZ>= ` 
0 )  C_  ZZ
8 zex 9233 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
97, 8climconst2 11266 . . 3  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ZZ  X.  { C } )  ~~>  C )
105, 6, 9sylancl 413 . 2  |-  ( ph  ->  ( ZZ  X.  { C } )  ~~>  C )
11 climaddc1.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
12 eluzelz 9508 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
1312, 1eleq2s 2270 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
14 fvconst2g 5722 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  X.  { C } ) `  k )  =  C )
155, 13, 14syl2an 289 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { C } ) `  k
)  =  C )
165adantr 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
1715, 16eqeltrd 2252 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( ZZ  X.  { C } ) `  k
)  e.  CC )
18 climsubc1.h . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  C ) )
1915oveq2d 5881 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  -  ( ( ZZ  X.  { C } ) `  k
) )  =  ( ( F `  k
)  -  C ) )
2018, 19eqtr4d 2211 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( ( ZZ  X.  { C } ) `  k ) ) )
211, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20climsub 11303 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( A  -  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2146   {csn 3589   class class class wbr 3998    X. cxp 4618   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   0cc0 7786    - cmin 8102   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499    ~~> cli 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-rp 9623  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-clim 11254
This theorem is referenced by:  clim2ser  11312
  Copyright terms: Public domain W3C validator