Theorem climsubc1 12017

Description: Limit of a constant C subtracted from each term of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climaddc1.5	|- ( ph -> C e. CC )
climaddc1.6	|- ( ph -> G e. W )
climaddc1.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climsubc1.h	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) - C ) )

Assertion

Ref	Expression
climsubc1	|- ( ph -> G ~~> ( A - C ) )

Distinct variable groups:   C, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Allowed substitution hint:   W( k)

Proof of Theorem climsubc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climadd.4	. 2 |- ( ph -> F ~~> A )
4		climaddc1.6	. 2 |- ( ph -> G e. W )
5		climaddc1.5	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
6		0z 9588	. . 3 |- 0 e. ZZ
7		uzssz 9874	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ ZZ
8		zex 9586	. . . 4 |- ZZ e. _V
9	7, 8	climconst2 11976	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. ZZ ) -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
10	5, 6, 9	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
11		climaddc1.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
12		eluzelz 9863	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
13	12, 1	eleq2s 2327	. . . 4 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
14		fvconst2g 5898	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ k e. ZZ ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
15	5, 13, 14	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
16	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> C e. CC )
17	15, 16	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) e. CC )
18		climsubc1.h	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) - C ) )
19	15	oveq2d 6066	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) ) = ( ( F ` k ) - C ) )
20	18, 19	eqtr4d 2268	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) - ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) ) )
21	1, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20	climsub 12013	1 |- ( ph -> G ~~> ( A - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   - cmin 8444   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ~~> cli 11963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-rp 9987  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964

This theorem is referenced by:  clim2ser  12022