Theorem climsubc1 11340

Description: Limit of a constant C subtracted from each term of a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climaddc1.5	|- ( ph -> C e. CC )
climaddc1.6	|- ( ph -> G e. W )
climaddc1.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climsubc1.h	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) - C ) )

Assertion

Ref	Expression
climsubc1	|- ( ph -> G ~~> ( A - C ) )

Distinct variable groups:   C, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Allowed substitution hint:   W( k)

Proof of Theorem climsubc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climadd.4	. 2 |- ( ph -> F ~~> A )
4		climaddc1.6	. 2 |- ( ph -> G e. W )
5		climaddc1.5	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
6		0z 9264	. . 3 |- 0 e. ZZ
7		uzssz 9547	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ ZZ
8		zex 9262	. . . 4 |- ZZ e. _V
9	7, 8	climconst2 11299	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. ZZ ) -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
10	5, 6, 9	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
11		climaddc1.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
12		eluzelz 9537	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
13	12, 1	eleq2s 2272	. . . 4 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
14		fvconst2g 5731	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ k e. ZZ ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
15	5, 13, 14	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
16	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> C e. CC )
17	15, 16	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) e. CC )
18		climsubc1.h	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) - C ) )
19	15	oveq2d 5891	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) - ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) ) = ( ( F ` k ) - C ) )
20	18, 19	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) - ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) ) )
21	1, 2, 3, 4, 10, 11, 17, 20	climsub 11336	1 |- ( ph -> G ~~> ( A - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3593   class class class wbr 4004   X. cxp 4625   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   - cmin 8128   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ~~> cli 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287

This theorem is referenced by:  clim2ser  11345