Theorem climsubc2 12043

Description: Limit of a constant C minus each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climaddc1.5	|- ( ph -> C e. CC )
climaddc1.6	|- ( ph -> G e. W )
climaddc1.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climsubc2.h	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( C - ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climsubc2	|- ( ph -> G ~~> ( C - A ) )

Distinct variable groups:   C, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Allowed substitution hint:   W( k)

Proof of Theorem climsubc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climaddc1.5	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
4		0z 9605	. . 3 |- 0 e. ZZ
5		uzssz 9892	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ ZZ
6		zex 9603	. . . 4 |- ZZ e. _V
7	5, 6	climconst2 12001	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. ZZ ) -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
8	3, 4, 7	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
9		climaddc1.6	. 2 |- ( ph -> G e. W )
10		climadd.4	. 2 |- ( ph -> F ~~> A )
11		eluzelz 9881	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
12	11, 1	eleq2s 2329	. . . 4 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
13		fvconst2g 5903	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ k e. ZZ ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
14	3, 12, 13	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
15	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> C e. CC )
16	14, 15	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) e. CC )
17		climaddc1.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
18		climsubc2.h	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( C - ( F ` k ) ) )
19	14	oveq1d 6073	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) - ( F ` k ) ) = ( C - ( F ` k ) ) )
20	18, 19	eqtr4d 2270	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) - ( F ` k ) ) )
21	1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20	climsub 12038	1 |- ( ph -> G ~~> ( C - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ~~> cli 11988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989

This theorem is referenced by:  trireciplem  12211  geolim  12222  geo2lim  12227