Theorem climsubc2 11336

Description: Limit of a constant C minus each term of a sequence. (Contributed by NM, 24-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climadd.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
climadd.4	|- ( ph -> F ~~> A )
climaddc1.5	|- ( ph -> C e. CC )
climaddc1.6	|- ( ph -> G e. W )
climaddc1.7	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
climsubc2.h	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( C - ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climsubc2	|- ( ph -> G ~~> ( C - A ) )

Distinct variable groups:   C, k   k, F   ph, k   A, k   k, G   k, M   k, Z

Allowed substitution hint:   W( k)

Proof of Theorem climsubc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climadd.2	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climaddc1.5	. . 3 |- ( ph -> C e. CC )
4		0z 9262	. . 3 |- 0 e. ZZ
5		uzssz 9545	. . . 4 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ ZZ
6		zex 9260	. . . 4 |- ZZ e. _V
7	5, 6	climconst2 11294	. . 3 |- ( ( C e. CC /\ 0 e. ZZ ) -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
8	3, 4, 7	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> ( ZZ X. { C } ) ~~> C )
9		climaddc1.6	. 2 |- ( ph -> G e. W )
10		climadd.4	. 2 |- ( ph -> F ~~> A )
11		eluzelz 9535	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. ZZ )
12	11, 1	eleq2s 2272	. . . 4 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
13		fvconst2g 5730	. . . 4 |- ( ( C e. CC /\ k e. ZZ ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
14	3, 12, 13	syl2an 289	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) = C )
15	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> C e. CC )
16	14, 15	eqeltrd 2254	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) e. CC )
17		climaddc1.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. CC )
18		climsubc2.h	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( C - ( F ` k ) ) )
19	14	oveq1d 5889	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) - ( F ` k ) ) = ( C - ( F ` k ) ) )
20	18, 19	eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( G ` k ) = ( ( ( ZZ X. { C } ) ` k ) - ( F ` k ) ) )
21	1, 2, 8, 9, 10, 16, 17, 20	climsub 11331	1 |- ( ph -> G ~~> ( C - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   {csn 3592   class class class wbr 4003   X. cxp 4624   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   - cmin 8126   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526   ~~> cli 11281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282

This theorem is referenced by:  trireciplem  11503  geolim  11514  geo2lim  11519