Theorem cncongrprm 12176

Description: Corollary 2 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo a prime number not dividing the common factor iff the other factors are congruent modulo the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cncongrprm	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( P e. Prime /\ -. P || C ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod P ) = ( ( B x. C ) mod P ) <-> ( A mod P ) = ( B mod P ) ) )

Proof of Theorem cncongrprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12129	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2	1	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( P e. Prime /\ -. P || C ) ) -> P e. NN )
3		coprm 12163	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ C e. ZZ ) -> ( -. P || C <-> ( P gcd C ) = 1 ) )
4		prmz 12130	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
5		gcdcom 11993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( P gcd C ) = ( C gcd P ) )
6	4, 5	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ C e. ZZ ) -> ( P gcd C ) = ( C gcd P ) )
7	6	eqeq1d 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ C e. ZZ ) -> ( ( P gcd C ) = 1 <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
8	3, 7	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ C e. ZZ ) -> ( -. P || C <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
9	8	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( -. P || C <-> ( C gcd P ) = 1 ) )
10	9	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ P e. Prime ) -> ( -. P || C -> ( C gcd P ) = 1 ) )
11	10	expimpd 363	. . . . 5 |- ( C e. ZZ -> ( ( P e. Prime /\ -. P || C ) -> ( C gcd P ) = 1 ) )
12	11	3ad2ant3 1022	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( P e. Prime /\ -. P || C ) -> ( C gcd P ) = 1 ) )
13	12	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( P e. Prime /\ -. P || C ) ) -> ( C gcd P ) = 1 )
14	2, 13	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( P e. Prime /\ -. P || C ) ) -> ( P e. NN /\ ( C gcd P ) = 1 ) )
15		cncongrcoprm 12125	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( P e. NN /\ ( C gcd P ) = 1 ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod P ) = ( ( B x. C ) mod P ) <-> ( A mod P ) = ( B mod P ) ) )
16	14, 15	syldan 282	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( P e. Prime /\ -. P || C ) ) -> ( ( ( A x. C ) mod P ) = ( ( B x. C ) mod P ) <-> ( A mod P ) = ( B mod P ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   1c1 7831   x. cmul 7835   NNcn 8938   ZZcz 9272   mod cmo 10341   || cdvds 11813   gcd cgcd 11962   Primecprime 12126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-2o 6436  df-er 6553  df-en 6759  df-sup 7002  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-fl 10289  df-mod 10342  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-dvds 11814  df-gcd 11963  df-prm 12127

This theorem is referenced by: (None)