Theorem prmnn 12432

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12431	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044   2oc2o 6496   ~~ cen 6825   NNcn 9036   || cdvds 12098   Primecprime 12429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-prm 12430

This theorem is referenced by:  prmz  12433  prmssnn  12434  nprmdvds1  12462  isprm5lem  12463  isprm5  12464  coprm  12466  euclemma  12468  prmdvdsexpr  12472  cncongrprm  12479  phiprmpw  12544  fermltl  12556  prmdiv  12557  prmdiveq  12558  prmdivdiv  12559  m1dvdsndvds  12571  vfermltl  12574  powm2modprm  12575  reumodprminv  12576  modprm0  12577  nnnn0modprm0  12578  modprmn0modprm0  12579  oddprm  12582  nnoddn2prm  12583  prm23lt5  12586  pcpremul  12616  pcdvdsb  12643  pcelnn  12644  pcidlem  12646  pcid  12647  pcdvdstr  12650  pcgcd1  12651  pcprmpw2  12656  dvdsprmpweqnn  12659  dvdsprmpweqle  12660  pcaddlem  12662  pcadd  12663  pcmptcl  12665  pcmpt  12666  pcmpt2  12667  pcfaclem  12672  pcfac  12673  pcbc  12674  expnprm  12676  oddprmdvds  12677  prmpwdvds  12678  pockthlem  12679  pockthg  12680  pockthi  12681  1arith  12690  4sqlem11  12724  4sqlem12  12725  4sqlem13m  12726  4sqlem14  12727  4sqlem17  12730  4sqlem18  12731  4sqlem19  12732  znidom  14419  wilthlem1  15452  dvdsppwf1o  15461  sgmppw  15464  0sgmppw  15465  1sgmprm  15466  mersenne  15469  perfect1  15470  perfect  15473  lgslem1  15477  lgslem4  15480  lgsval  15481  lgsval2lem  15487  lgsvalmod  15496  lgsmod  15503  lgsdirprm  15511  lgsne0  15515  lgsprme0  15519  gausslemma2dlem0c  15528  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem5a  15542  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgseisenlem4  15550  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem3  15556  lgsquad2lem2  15559  lgsquad2  15560  m1lgs  15562  2lgslem1a  15565  2lgslem1c  15567  2lgs  15581  2sqlem3  15594  2sqlem8  15600