Theorem prmnn 12632

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12631	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   {crab 2512   class class class wbr 4083   2oc2o 6556   ~~ cen 6885   NNcn 9110   || cdvds 12298   Primecprime 12629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-prm 12630

This theorem is referenced by:  prmz  12633  prmssnn  12634  nprmdvds1  12662  isprm5lem  12663  isprm5  12664  coprm  12666  euclemma  12668  prmdvdsexpr  12672  cncongrprm  12679  phiprmpw  12744  fermltl  12756  prmdiv  12757  prmdiveq  12758  prmdivdiv  12759  m1dvdsndvds  12771  vfermltl  12774  powm2modprm  12775  reumodprminv  12776  modprm0  12777  nnnn0modprm0  12778  modprmn0modprm0  12779  oddprm  12782  nnoddn2prm  12783  prm23lt5  12786  pcpremul  12816  pcdvdsb  12843  pcelnn  12844  pcidlem  12846  pcid  12847  pcdvdstr  12850  pcgcd1  12851  pcprmpw2  12856  dvdsprmpweqnn  12859  dvdsprmpweqle  12860  pcaddlem  12862  pcadd  12863  pcmptcl  12865  pcmpt  12866  pcmpt2  12867  pcfaclem  12872  pcfac  12873  pcbc  12874  expnprm  12876  oddprmdvds  12877  prmpwdvds  12878  pockthlem  12879  pockthg  12880  pockthi  12881  1arith  12890  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  4sqlem13m  12926  4sqlem14  12927  4sqlem17  12930  4sqlem18  12931  4sqlem19  12932  znidom  14621  wilthlem1  15654  dvdsppwf1o  15663  sgmppw  15666  0sgmppw  15667  1sgmprm  15668  mersenne  15671  perfect1  15672  perfect  15675  lgslem1  15679  lgslem4  15682  lgsval  15683  lgsval2lem  15689  lgsvalmod  15698  lgsmod  15705  lgsdirprm  15713  lgsne0  15717  lgsprme0  15721  gausslemma2dlem0c  15730  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem5a  15744  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem3  15758  lgsquad2lem2  15761  lgsquad2  15762  m1lgs  15764  2lgslem1a  15767  2lgslem1c  15769  2lgs  15783  2sqlem3  15796  2sqlem8  15802