Theorem prmnn 12124

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12123	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   {crab 2469   class class class wbr 4015   2oc2o 6425   ~~ cen 6752   NNcn 8933   || cdvds 11808   Primecprime 12121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rab 2474  df-v 2751  df-un 3145  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-prm 12122

This theorem is referenced by:  prmz  12125  prmssnn  12126  nprmdvds1  12154  isprm5lem  12155  isprm5  12156  coprm  12158  euclemma  12160  prmdvdsexpr  12164  cncongrprm  12171  phiprmpw  12236  fermltl  12248  prmdiv  12249  prmdiveq  12250  prmdivdiv  12251  m1dvdsndvds  12262  vfermltl  12265  powm2modprm  12266  reumodprminv  12267  modprm0  12268  nnnn0modprm0  12269  modprmn0modprm0  12270  oddprm  12273  nnoddn2prm  12274  prm23lt5  12277  pcpremul  12307  pcdvdsb  12333  pcelnn  12334  pcidlem  12336  pcid  12337  pcdvdstr  12340  pcgcd1  12341  pcprmpw2  12346  dvdsprmpweqnn  12349  dvdsprmpweqle  12350  pcaddlem  12352  pcadd  12353  pcmptcl  12354  pcmpt  12355  pcmpt2  12356  pcfaclem  12361  pcfac  12362  pcbc  12363  expnprm  12365  oddprmdvds  12366  prmpwdvds  12367  pockthlem  12368  pockthg  12369  pockthi  12370  1arith  12379  lgslem1  14754  lgslem4  14757  lgsval  14758  lgsval2lem  14764  lgsvalmod  14773  lgsmod  14780  lgsdirprm  14788  lgsne0  14792  lgsprme0  14796  lgseisenlem1  14803  lgseisenlem2  14804  m1lgs  14805  2sqlem3  14817  2sqlem8  14823