Theorem prmnn 12547

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12546	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   {crab 2490   class class class wbr 4059   2oc2o 6519   ~~ cen 6848   NNcn 9071   || cdvds 12213   Primecprime 12544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-prm 12545

This theorem is referenced by:  prmz  12548  prmssnn  12549  nprmdvds1  12577  isprm5lem  12578  isprm5  12579  coprm  12581  euclemma  12583  prmdvdsexpr  12587  cncongrprm  12594  phiprmpw  12659  fermltl  12671  prmdiv  12672  prmdiveq  12673  prmdivdiv  12674  m1dvdsndvds  12686  vfermltl  12689  powm2modprm  12690  reumodprminv  12691  modprm0  12692  nnnn0modprm0  12693  modprmn0modprm0  12694  oddprm  12697  nnoddn2prm  12698  prm23lt5  12701  pcpremul  12731  pcdvdsb  12758  pcelnn  12759  pcidlem  12761  pcid  12762  pcdvdstr  12765  pcgcd1  12766  pcprmpw2  12771  dvdsprmpweqnn  12774  dvdsprmpweqle  12775  pcaddlem  12777  pcadd  12778  pcmptcl  12780  pcmpt  12781  pcmpt2  12782  pcfaclem  12787  pcfac  12788  pcbc  12789  expnprm  12791  oddprmdvds  12792  prmpwdvds  12793  pockthlem  12794  pockthg  12795  pockthi  12796  1arith  12805  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  4sqlem13m  12841  4sqlem14  12842  4sqlem17  12845  4sqlem18  12846  4sqlem19  12847  znidom  14534  wilthlem1  15567  dvdsppwf1o  15576  sgmppw  15579  0sgmppw  15580  1sgmprm  15581  mersenne  15584  perfect1  15585  perfect  15588  lgslem1  15592  lgslem4  15595  lgsval  15596  lgsval2lem  15602  lgsvalmod  15611  lgsmod  15618  lgsdirprm  15626  lgsne0  15630  lgsprme0  15634  gausslemma2dlem0c  15643  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem5a  15657  lgseisenlem1  15662  lgseisenlem2  15663  lgseisenlem3  15664  lgseisenlem4  15665  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem3  15671  lgsquad2lem2  15674  lgsquad2  15675  m1lgs  15677  2lgslem1a  15680  2lgslem1c  15682  2lgs  15696  2sqlem3  15709  2sqlem8  15715