Theorem prmnn 12303

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12302	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034   2oc2o 6477   ~~ cen 6806   NNcn 9007   || cdvds 11969   Primecprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-prm 12301

This theorem is referenced by:  prmz  12304  prmssnn  12305  nprmdvds1  12333  isprm5lem  12334  isprm5  12335  coprm  12337  euclemma  12339  prmdvdsexpr  12343  cncongrprm  12350  phiprmpw  12415  fermltl  12427  prmdiv  12428  prmdiveq  12429  prmdivdiv  12430  m1dvdsndvds  12442  vfermltl  12445  powm2modprm  12446  reumodprminv  12447  modprm0  12448  nnnn0modprm0  12449  modprmn0modprm0  12450  oddprm  12453  nnoddn2prm  12454  prm23lt5  12457  pcpremul  12487  pcdvdsb  12514  pcelnn  12515  pcidlem  12517  pcid  12518  pcdvdstr  12521  pcgcd1  12522  pcprmpw2  12527  dvdsprmpweqnn  12530  dvdsprmpweqle  12531  pcaddlem  12533  pcadd  12534  pcmptcl  12536  pcmpt  12537  pcmpt2  12538  pcfaclem  12543  pcfac  12544  pcbc  12545  expnprm  12547  oddprmdvds  12548  prmpwdvds  12549  pockthlem  12550  pockthg  12551  pockthi  12552  1arith  12561  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  4sqlem13m  12597  4sqlem14  12598  4sqlem17  12601  4sqlem18  12602  4sqlem19  12603  znidom  14289  wilthlem1  15300  dvdsppwf1o  15309  sgmppw  15312  0sgmppw  15313  1sgmprm  15314  mersenne  15317  perfect1  15318  perfect  15321  lgslem1  15325  lgslem4  15328  lgsval  15329  lgsval2lem  15335  lgsvalmod  15344  lgsmod  15351  lgsdirprm  15359  lgsne0  15363  lgsprme0  15367  gausslemma2dlem0c  15376  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem5a  15390  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem3  15404  lgsquad2lem2  15407  lgsquad2  15408  m1lgs  15410  2lgslem1a  15413  2lgslem1c  15415  2lgs  15429  2sqlem3  15442  2sqlem8  15448