Theorem prmnn 12288

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12287	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4034   2oc2o 6469   ~~ cen 6798   NNcn 8992   || cdvds 11954   Primecprime 12285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-prm 12286

This theorem is referenced by:  prmz  12289  prmssnn  12290  nprmdvds1  12318  isprm5lem  12319  isprm5  12320  coprm  12322  euclemma  12324  prmdvdsexpr  12328  cncongrprm  12335  phiprmpw  12400  fermltl  12412  prmdiv  12413  prmdiveq  12414  prmdivdiv  12415  m1dvdsndvds  12427  vfermltl  12430  powm2modprm  12431  reumodprminv  12432  modprm0  12433  nnnn0modprm0  12434  modprmn0modprm0  12435  oddprm  12438  nnoddn2prm  12439  prm23lt5  12442  pcpremul  12472  pcdvdsb  12499  pcelnn  12500  pcidlem  12502  pcid  12503  pcdvdstr  12506  pcgcd1  12507  pcprmpw2  12512  dvdsprmpweqnn  12515  dvdsprmpweqle  12516  pcaddlem  12518  pcadd  12519  pcmptcl  12521  pcmpt  12522  pcmpt2  12523  pcfaclem  12528  pcfac  12529  pcbc  12530  expnprm  12532  oddprmdvds  12533  prmpwdvds  12534  pockthlem  12535  pockthg  12536  pockthi  12537  1arith  12546  4sqlem11  12580  4sqlem12  12581  4sqlem13m  12582  4sqlem14  12583  4sqlem17  12586  4sqlem18  12587  4sqlem19  12588  znidom  14223  wilthlem1  15226  dvdsppwf1o  15235  sgmppw  15238  0sgmppw  15239  1sgmprm  15240  mersenne  15243  perfect1  15244  perfect  15247  lgslem1  15251  lgslem4  15254  lgsval  15255  lgsval2lem  15261  lgsvalmod  15270  lgsmod  15277  lgsdirprm  15285  lgsne0  15289  lgsprme0  15293  gausslemma2dlem0c  15302  gausslemma2dlem1a  15309  gausslemma2dlem5a  15316  lgseisenlem1  15321  lgseisenlem2  15322  lgseisenlem3  15323  lgseisenlem4  15324  lgsquadlem1  15328  lgsquadlem3  15330  lgsquad2lem2  15333  lgsquad2  15334  m1lgs  15336  2lgslem1a  15339  2lgslem1c  15341  2lgs  15355  2sqlem3  15368  2sqlem8  15374