Theorem prmnn 12465

Description: A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
prmnn	|- ( P e. Prime -> P e. NN )

Proof of Theorem prmnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm 12464	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. NN /\ { z e. NN | z || P } ~~ 2o ) )
2	1	simplbi 274	1 |- ( P e. Prime -> P e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4045   2oc2o 6498   ~~ cen 6827   NNcn 9038   || cdvds 12131   Primecprime 12462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-prm 12463

This theorem is referenced by:  prmz  12466  prmssnn  12467  nprmdvds1  12495  isprm5lem  12496  isprm5  12497  coprm  12499  euclemma  12501  prmdvdsexpr  12505  cncongrprm  12512  phiprmpw  12577  fermltl  12589  prmdiv  12590  prmdiveq  12591  prmdivdiv  12592  m1dvdsndvds  12604  vfermltl  12607  powm2modprm  12608  reumodprminv  12609  modprm0  12610  nnnn0modprm0  12611  modprmn0modprm0  12612  oddprm  12615  nnoddn2prm  12616  prm23lt5  12619  pcpremul  12649  pcdvdsb  12676  pcelnn  12677  pcidlem  12679  pcid  12680  pcdvdstr  12683  pcgcd1  12684  pcprmpw2  12689  dvdsprmpweqnn  12692  dvdsprmpweqle  12693  pcaddlem  12695  pcadd  12696  pcmptcl  12698  pcmpt  12699  pcmpt2  12700  pcfaclem  12705  pcfac  12706  pcbc  12707  expnprm  12709  oddprmdvds  12710  prmpwdvds  12711  pockthlem  12712  pockthg  12713  pockthi  12714  1arith  12723  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  4sqlem13m  12759  4sqlem14  12760  4sqlem17  12763  4sqlem18  12764  4sqlem19  12765  znidom  14452  wilthlem1  15485  dvdsppwf1o  15494  sgmppw  15497  0sgmppw  15498  1sgmprm  15499  mersenne  15502  perfect1  15503  perfect  15506  lgslem1  15510  lgslem4  15513  lgsval  15514  lgsval2lem  15520  lgsvalmod  15529  lgsmod  15536  lgsdirprm  15544  lgsne0  15548  lgsprme0  15552  gausslemma2dlem0c  15561  gausslemma2dlem1a  15568  gausslemma2dlem5a  15575  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgseisenlem4  15583  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem3  15589  lgsquad2lem2  15592  lgsquad2  15593  m1lgs  15595  2lgslem1a  15598  2lgslem1c  15600  2lgs  15614  2sqlem3  15627  2sqlem8  15633