Theorem gsumfzfsumlem0 14392

Description: Lemma for gsumfzfsum 14394. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14376	. . 3 |- ℂfld e. Ring
2		cnfld0 14377	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
3	2	gsum0g 13272	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> (ℂfld gsumg (/) ) = 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 |- ( ph -> N < M )
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
8		fzn 10171	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) = (/) )
11	10	mpteq1d 4133	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = ( k e. (/) |-> B ) )
12		mpt0 5409	. . . 4 |- ( k e. (/) |-> B ) = (/)
13	11, 12	eqtrdi 2255	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = (/) )
14	13	oveq2d 5967	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
15	10	sumeq1d 11721	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = sum_ k e. (/) B )
16		sum0 11743	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
17	15, 16	eqtrdi 2255	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = 0 )
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2265	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   (/)c0 3461   class class class wbr 4047   |-> cmpt 4109  (class class class)co 5951   0cc0 7932   < clt 8114   ZZcz 9379   ...cfz 10137   sum_csu 11708   gsum_g cgsu 13133   Ringcrg 13802  ℂ_fldccnfld 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-igsum 13135  df-topgen 13136  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-cmn 13666  df-mgp 13727  df-ring 13804  df-cring 13805  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14394