Theorem gsumfzfsumlem0 14734

Description: Lemma for gsumfzfsum 14736. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14718	. . 3 |- ℂfld e. Ring
2		cnfld0 14719	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
3	2	gsum0g 13609	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> (ℂfld gsumg (/) ) = 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 |- ( ph -> N < M )
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
8		fzn 10376	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) = (/) )
11	10	mpteq1d 4195	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = ( k e. (/) |-> B ) )
12		mpt0 5486	. . . 4 |- ( k e. (/) |-> B ) = (/)
13	11, 12	eqtrdi 2281	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = (/) )
14	13	oveq2d 6066	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
15	10	sumeq1d 12051	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = sum_ k e. (/) B )
16		sum0 12074	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
17	15, 16	eqtrdi 2281	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = 0 )
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2291	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   (/)c0 3508   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171  (class class class)co 6050   0cc0 8127   < clt 8308   ZZcz 9577   ...cfz 10342   sum_csu 12038   gsum_g cgsu 13470   Ringcrg 14140  ℂ_fldccnfld 14704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-starv 13305  df-tset 13309  df-ple 13310  df-ds 13312  df-unif 13313  df-0g 13471  df-igsum 13472  df-topgen 13473  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-cmn 14003  df-mgp 14065  df-ring 14142  df-cring 14143  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-fg 14697  df-metu 14698  df-cnfld 14705

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14736