Theorem gsumfzfsumlem0 14218

Description: Lemma for gsumfzfsum 14220. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14202	. . 3 |- ℂfld e. Ring
2		cnfld0 14203	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
3	2	gsum0g 13098	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> (ℂfld gsumg (/) ) = 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 |- ( ph -> N < M )
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
8		fzn 10134	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) = (/) )
11	10	mpteq1d 4119	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = ( k e. (/) |-> B ) )
12		mpt0 5388	. . . 4 |- ( k e. (/) |-> B ) = (/)
13	11, 12	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = (/) )
14	13	oveq2d 5941	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
15	10	sumeq1d 11548	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = sum_ k e. (/) B )
16		sum0 11570	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
17	15, 16	eqtrdi 2245	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = 0 )
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2255	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3451   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095  (class class class)co 5925   0cc0 7896   < clt 8078   ZZcz 9343   ...cfz 10100   sum_csu 11535   gsum_g cgsu 12959   Ringcrg 13628  ℂ_fldccnfld 14188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-igsum 12961  df-topgen 12962  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-ring 13630  df-cring 13631  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14220