Theorem gsumfzfsumlem0 14074

Description: Lemma for gsumfzfsum 14076. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.n	|- ( ph -> N e. ZZ )
gsumfzfsumlem0.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14058	. . 3 |- ℂfld e. Ring
2		cnfld0 14059	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
3	2	gsum0g 12979	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> (ℂfld gsumg (/) ) = 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 |- (ℂfld gsumg (/) ) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 |- ( ph -> N < M )
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
8		fzn 10108	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... N ) = (/) )
11	10	mpteq1d 4114	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = ( k e. (/) |-> B ) )
12		mpt0 5381	. . . 4 |- ( k e. (/) |-> B ) = (/)
13	11, 12	eqtrdi 2242	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> B ) = (/) )
14	13	oveq2d 5934	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg (/) ) )
15	10	sumeq1d 11509	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = sum_ k e. (/) B )
16		sum0 11531	. . 3 |- sum_ k e. (/) B = 0
17	15, 16	eqtrdi 2242	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... N ) B = 0 )
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2252	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3446   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090  (class class class)co 5918   0cc0 7872   < clt 8054   ZZcz 9317   ...cfz 10074   sum_csu 11496   gsum_g cgsu 12868   Ringcrg 13492  ℂ_fldccnfld 14047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-cmn 13356  df-mgp 13417  df-ring 13494  df-cring 13495  df-icnfld 14048

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14076