Theorem cnsubmlem 14674

Description: Lemma for nn0subm 14679 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubmlem.3	⊢ 0 ∈ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
cnsubmlem	⊢ 𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	ssriv 3232	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
3		cnsubmlem.3	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐴
4		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
5	4	rgen2 2619	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴
6		cnring 14666	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
7		ringmnd 14100	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
8		cnfldbas 14656	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 14667	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		cnfldadd 14658	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubm 13635	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)))
12	6, 7, 11	mp2b 8	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴))
13	2, 3, 5, 12	mpbir3an 1206	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  0cc0 8092   + caddc 8095  Mndcmnd 13579  SubMndcsubmnd 13621  Ringcrg 14090  ℂ_fldccnfld 14652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-rp 9950  df-fz 10306  df-cj 11482  df-abs 11639  df-struct 13164  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-starv 13255  df-tset 13259  df-ple 13260  df-ds 13262  df-unif 13263  df-0g 13421  df-topgen 13423  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-submnd 13623  df-grp 13666  df-cmn 13953  df-mgp 14015  df-ring 14092  df-cring 14093  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-fg 14645  df-metu 14646  df-cnfld 14653

This theorem is referenced by:  nn0subm  14679  rege0subm  14680