Theorem dichmul0orlem6 16929

Description: Lemma for dichmul0or 16931. (Contributed by Matthew House, 28-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dichmul0orlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
dichmul0orlem6.2	|- ( ph -> ( ( abs ` A ) - A ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
dichmul0orlem6	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem dichmul0orlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8328	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		dichmul0orlem6.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A e. RR )
4	3	recnd 8355	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A e. CC )
5	4	abscld 11964	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
6	5	recnd 8355	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
7	6, 4	negsubd 8645	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) + -u A ) = ( ( abs ` A ) - A ) )
8		dichmul0orlem6.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) - A ) = 0 )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) - A ) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) + -u A ) = 0 )
11	3	renegcld 8709	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> -u A e. RR )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A < 0 )
13	3, 12	lt0ap0d 8980	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A # 0 )
14		absgt0ap 11882	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> 0 < ( abs ` A ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( A # 0 <-> 0 < ( abs ` A ) ) )
16	13, 15	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> 0 < ( abs ` A ) )
17	2	lt0neg1d 8845	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )
18	17	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> 0 < -u A )
19	5, 11, 16, 18	addgt0d 8851	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> 0 < ( ( abs ` A ) + -u A ) )
20	19	gt0ne0d 8842	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) + -u A ) =/= 0 )
21	20	neneqd 2441	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> -. ( ( abs ` A ) + -u A ) = 0 )
22	10, 21	pm2.65da 671	. 2 |- ( ph -> -. A < 0 )
23	1, 2, 22	nltled 8449	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   0cc0 8180   + caddc 8183   < clt 8361   <_ cle 8362   - cmin 8499   -ucneg 8500   # cap 8912   abscabs 11779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781

This theorem is used by:  dichmul0orlem7  16930