Theorem dichmul0orlem6 16741

Description: Lemma for dichmul0or 16743. (Contributed by Matthew House, 28-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
dichmul0orlem6.1	|- ( ph -> A e. RR )
dichmul0orlem6.2	|- ( ph -> ( ( abs ` A ) - A ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
dichmul0orlem6	|- ( ph -> 0 <_ A )

Proof of Theorem dichmul0orlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8321	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR )
2		dichmul0orlem6.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A e. RR )
4	3	recnd 8348	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A e. CC )
5	4	abscld 11930	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
6	5	recnd 8348	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
7	6, 4	negsubd 8637	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) + -u A ) = ( ( abs ` A ) - A ) )
8		dichmul0orlem6.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) - A ) = 0 )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) - A ) = 0 )
10	7, 9	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) + -u A ) = 0 )
11	3	renegcld 8701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> -u A e. RR )
12		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A < 0 )
13	3, 12	lt0ap0d 8971	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> A # 0 )
14		absgt0ap 11848	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A # 0 <-> 0 < ( abs ` A ) ) )
15	4, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( A # 0 <-> 0 < ( abs ` A ) ) )
16	13, 15	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> 0 < ( abs ` A ) )
17	2	lt0neg1d 8837	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < 0 <-> 0 < -u A ) )
18	17	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> 0 < -u A )
19	5, 11, 16, 18	addgt0d 8843	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> 0 < ( ( abs ` A ) + -u A ) )
20	19	gt0ne0d 8834	. . . 4 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> ( ( abs ` A ) + -u A ) =/= 0 )
21	20	neneqd 2441	. . 3 |- ( ( ph /\ A < 0 ) -> -. ( ( abs ` A ) + -u A ) = 0 )
22	10, 21	pm2.65da 671	. 2 |- ( ph -> -. A < 0 )
23	1, 2, 22	nltled 8441	1 |- ( ph -> 0 <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   CCcc 8171   RRcr 8172   0cc0 8173   + caddc 8176   < clt 8354   <_ cle 8355   - cmin 8491   -ucneg 8492   # cap 8903   abscabs 11746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748

This theorem is referenced by:  dichmul0orlem7  16742