Theorem abscld 11607

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11477	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   ` cfv 5290   CCcc 7958   RRcr 7959   abscabs 11423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425

This theorem is referenced by:  maxabsle  11630  maxabslemlub  11633  maxabslemval  11634  maxcl  11636  dfabsmax  11643  maxltsup  11644  max0addsup  11645  minabs  11662  bdtrilem  11665  bdtri  11666  mul0inf  11667  climuni  11719  climabs0  11733  mulcn2  11738  reccn2ap  11739  cn1lem  11740  cjcn2  11742  climsqz  11761  climsqz2  11762  climcvg1nlem  11775  fsumabs  11891  iserabs  11901  divcnv  11923  expcnv  11930  explecnv  11931  absltap  11935  absgtap  11936  georeclim  11939  geoisumr  11944  cvgratnnlemnexp  11950  cvgratnnlemmn  11951  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemfm  11955  cvgratnnlemrate  11956  cvgratnn  11957  cvgratz  11958  mertenslemub  11960  mertenslemi1  11961  mertenslem2  11962  fprodabs  12042  efcllemp  12084  efaddlem  12100  eftlub  12116  ef01bndlem  12182  sin01bnd  12183  cos01bnd  12184  absef  12196  dvdsabseq  12273  alzdvds  12280  dvdsbnd  12392  sqnprm  12573  pclemub  12725  mul4sqlem  12831  addcncntoplem  15148  mulcncflem  15194  cnopnap  15198  maxcncf  15202  mincncf  15203  limcimolemlt  15251  cnplimclemle  15255  limccnp2lem  15263  dveflem  15313  rpabscxpbnd  15527  lgsdirprm  15626  lgsdilem2  15628  lgsne0  15630  lgsabs1  15631  2sqlem1  15706  mul2sq  15708  2sqlem3  15709  qdencn  16168  apdifflemf  16187  apdiff  16189  ltlenmkv  16211