Theorem abscld 10838

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 10708	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1461   ` cfv 5079   CCcc 7538   RRcr 7539   abscabs 10654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656  ax-arch 7657  ax-caucvg 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-rp 9337  df-seqfrec 10105  df-exp 10179  df-cj 10500  df-re 10501  df-im 10502  df-rsqrt 10655  df-abs 10656

This theorem is referenced by:  maxabsle  10861  maxabslemlub  10864  maxabslemval  10865  maxcl  10867  dfabsmax  10874  maxltsup  10875  max0addsup  10876  minabs  10892  bdtrilem  10895  bdtri  10896  mul0inf  10897  climuni  10947  climabs0  10961  mulcn2  10966  reccn2ap  10967  cn1lem  10968  cjcn2  10970  climsqz  10989  climsqz2  10990  climcvg1nlem  11003  fsumabs  11119  iserabs  11129  divcnv  11151  expcnv  11158  explecnv  11159  absltap  11163  absgtap  11164  georeclim  11167  geoisumr  11172  cvgratnnlemnexp  11178  cvgratnnlemmn  11179  cvgratnnlemabsle  11181  cvgratnnlemfm  11183  cvgratnnlemrate  11184  cvgratnn  11185  cvgratz  11186  mertenslemub  11188  mertenslemi1  11189  mertenslem2  11190  efcllemp  11208  efaddlem  11224  eftlub  11240  ef01bndlem  11307  sin01bnd  11308  cos01bnd  11309  absef  11319  dvdsabseq  11386  alzdvds  11393  dvdsbnd  11486  sqnprm  11655  addcncntoplem  12530  mulcncflem  12569  limcimolemlt  12582  cnplimclemle  12586  limccnp2lem  12594  qdencn  12899