Theorem abscld 11363

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11233	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5259   CCcc 7894   RRcr 7895   abscabs 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181

This theorem is referenced by:  maxabsle  11386  maxabslemlub  11389  maxabslemval  11390  maxcl  11392  dfabsmax  11399  maxltsup  11400  max0addsup  11401  minabs  11418  bdtrilem  11421  bdtri  11422  mul0inf  11423  climuni  11475  climabs0  11489  mulcn2  11494  reccn2ap  11495  cn1lem  11496  cjcn2  11498  climsqz  11517  climsqz2  11518  climcvg1nlem  11531  fsumabs  11647  iserabs  11657  divcnv  11679  expcnv  11686  explecnv  11687  absltap  11691  absgtap  11692  georeclim  11695  geoisumr  11700  cvgratnnlemnexp  11706  cvgratnnlemmn  11707  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  cvgratnn  11713  cvgratz  11714  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  mertenslem2  11718  fprodabs  11798  efcllemp  11840  efaddlem  11856  eftlub  11872  ef01bndlem  11938  sin01bnd  11939  cos01bnd  11940  absef  11952  dvdsabseq  12029  alzdvds  12036  dvdsbnd  12148  sqnprm  12329  pclemub  12481  mul4sqlem  12587  addcncntoplem  14881  mulcncflem  14927  cnopnap  14931  maxcncf  14935  mincncf  14936  limcimolemlt  14984  cnplimclemle  14988  limccnp2lem  14996  dveflem  15046  rpabscxpbnd  15260  lgsdirprm  15359  lgsdilem2  15361  lgsne0  15363  lgsabs1  15364  2sqlem1  15439  mul2sq  15441  2sqlem3  15442  qdencn  15758  apdifflemf  15777  apdiff  15779  ltlenmkv  15801