Theorem abscld 11525

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11395	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ` cfv 5272   CCcc 7925   RRcr 7926   abscabs 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-rp 9778  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343

This theorem is referenced by:  maxabsle  11548  maxabslemlub  11551  maxabslemval  11552  maxcl  11554  dfabsmax  11561  maxltsup  11562  max0addsup  11563  minabs  11580  bdtrilem  11583  bdtri  11584  mul0inf  11585  climuni  11637  climabs0  11651  mulcn2  11656  reccn2ap  11657  cn1lem  11658  cjcn2  11660  climsqz  11679  climsqz2  11680  climcvg1nlem  11693  fsumabs  11809  iserabs  11819  divcnv  11841  expcnv  11848  explecnv  11849  absltap  11853  absgtap  11854  georeclim  11857  geoisumr  11862  cvgratnnlemnexp  11868  cvgratnnlemmn  11869  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  cvgratnn  11875  cvgratz  11876  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  mertenslem2  11880  fprodabs  11960  efcllemp  12002  efaddlem  12018  eftlub  12034  ef01bndlem  12100  sin01bnd  12101  cos01bnd  12102  absef  12114  dvdsabseq  12191  alzdvds  12198  dvdsbnd  12310  sqnprm  12491  pclemub  12643  mul4sqlem  12749  addcncntoplem  15066  mulcncflem  15112  cnopnap  15116  maxcncf  15120  mincncf  15121  limcimolemlt  15169  cnplimclemle  15173  limccnp2lem  15181  dveflem  15231  rpabscxpbnd  15445  lgsdirprm  15544  lgsdilem2  15546  lgsne0  15548  lgsabs1  15549  2sqlem1  15624  mul2sq  15626  2sqlem3  15627  qdencn  16003  apdifflemf  16022  apdiff  16024  ltlenmkv  16046