Theorem abscld 11492

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11362	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ` cfv 5271   CCcc 7923   RRcr 7924   abscabs 11308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  maxabsle  11515  maxabslemlub  11518  maxabslemval  11519  maxcl  11521  dfabsmax  11528  maxltsup  11529  max0addsup  11530  minabs  11547  bdtrilem  11550  bdtri  11551  mul0inf  11552  climuni  11604  climabs0  11618  mulcn2  11623  reccn2ap  11624  cn1lem  11625  cjcn2  11627  climsqz  11646  climsqz2  11647  climcvg1nlem  11660  fsumabs  11776  iserabs  11786  divcnv  11808  expcnv  11815  explecnv  11816  absltap  11820  absgtap  11821  georeclim  11824  geoisumr  11829  cvgratnnlemnexp  11835  cvgratnnlemmn  11836  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  cvgratnn  11842  cvgratz  11843  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  mertenslem2  11847  fprodabs  11927  efcllemp  11969  efaddlem  11985  eftlub  12001  ef01bndlem  12067  sin01bnd  12068  cos01bnd  12069  absef  12081  dvdsabseq  12158  alzdvds  12165  dvdsbnd  12277  sqnprm  12458  pclemub  12610  mul4sqlem  12716  addcncntoplem  15033  mulcncflem  15079  cnopnap  15083  maxcncf  15087  mincncf  15088  limcimolemlt  15136  cnplimclemle  15140  limccnp2lem  15148  dveflem  15198  rpabscxpbnd  15412  lgsdirprm  15511  lgsdilem2  15513  lgsne0  15515  lgsabs1  15516  2sqlem1  15591  mul2sq  15593  2sqlem3  15594  qdencn  15970  apdifflemf  15989  apdiff  15991  ltlenmkv  16013