Theorem abscld 11346

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11216	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   ` cfv 5258   CCcc 7877   RRcr 7878   abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  maxabsle  11369  maxabslemlub  11372  maxabslemval  11373  maxcl  11375  dfabsmax  11382  maxltsup  11383  max0addsup  11384  minabs  11401  bdtrilem  11404  bdtri  11405  mul0inf  11406  climuni  11458  climabs0  11472  mulcn2  11477  reccn2ap  11478  cn1lem  11479  cjcn2  11481  climsqz  11500  climsqz2  11501  climcvg1nlem  11514  fsumabs  11630  iserabs  11640  divcnv  11662  expcnv  11669  explecnv  11670  absltap  11674  absgtap  11675  georeclim  11678  geoisumr  11683  cvgratnnlemnexp  11689  cvgratnnlemmn  11690  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  cvgratnn  11696  cvgratz  11697  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  fprodabs  11781  efcllemp  11823  efaddlem  11839  eftlub  11855  ef01bndlem  11921  sin01bnd  11922  cos01bnd  11923  absef  11935  dvdsabseq  12012  alzdvds  12019  dvdsbnd  12123  sqnprm  12304  pclemub  12456  mul4sqlem  12562  addcncntoplem  14797  mulcncflem  14843  cnopnap  14847  maxcncf  14851  mincncf  14852  limcimolemlt  14900  cnplimclemle  14904  limccnp2lem  14912  dveflem  14962  rpabscxpbnd  15176  lgsdirprm  15275  lgsdilem2  15277  lgsne0  15279  lgsabs1  15280  2sqlem1  15355  mul2sq  15357  2sqlem3  15358  qdencn  15671  apdifflemf  15690  apdiff  15692  ltlenmkv  15714