Theorem abscld 11970

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11839	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380   CCcc 8183   RRcr 8184   abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  maxabsle  11993  maxabslemlub  11996  maxabslemval  11997  maxcl  11999  dfabsmax  12006  maxltsup  12007  max0addsup  12008  minabs  12026  bdtrilem  12030  bdtri  12031  mul0inf  12032  climuni  12084  climabs0  12098  mulcn2  12103  reccn2ap  12104  cn1lem  12105  cjcn2  12107  climsqz  12126  climsqz2  12127  climcvg1nlem  12140  fsumabs  12257  iserabs  12267  divcnv  12289  expcnv  12296  explecnv  12297  absltap  12301  absgtap  12302  georeclim  12305  geoisumr  12310  cvgratnnlemnexp  12316  cvgratnnlemmn  12317  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemfm  12321  cvgratnnlemrate  12322  cvgratnn  12323  cvgratz  12324  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  fprodabs  12408  efcllemp  12450  efaddlem  12466  eftlub  12482  ef01bndlem  12548  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  absef  12562  dvdsabseq  12639  alzdvds  12646  dvdsbnd  12758  sqnprm  12940  pclemub  13095  mul4sqlem  13201  addcncntoplem  15787  mulcncflem  15833  cnopnap  15837  maxcncf  15841  mincncf  15842  limcimolemlt  15890  cnplimclemle  15894  limccnp2lem  15902  dveflem  15952  rpabscxpbnd  16175  pellexlem2  16230  lgsdirprm  16358  lgsdilem2  16360  lgsne0  16362  lgsabs1  16363  2sqlem1  16438  mul2sq  16440  2sqlem3  16441  dichmul0orlem2  16959  dichmul0orlem3  16960  dichmul0orlem4  16961  dichmul0orlem5  16962  dichmul0orlem6  16963  dichmul0orlem7  16964  qdencn  17278  apdifflemf  17302  apdiff  17304  ltlenmkv  17327