Theorem abscld 11870

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11740	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   ` cfv 5354   CCcc 8127   RRcr 8128   abscabs 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-rp 9990  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688

This theorem is referenced by:  maxabsle  11893  maxabslemlub  11896  maxabslemval  11897  maxcl  11899  dfabsmax  11906  maxltsup  11907  max0addsup  11908  minabs  11925  bdtrilem  11928  bdtri  11929  mul0inf  11930  climuni  11982  climabs0  11996  mulcn2  12001  reccn2ap  12002  cn1lem  12003  cjcn2  12005  climsqz  12024  climsqz2  12025  climcvg1nlem  12038  fsumabs  12155  iserabs  12165  divcnv  12187  expcnv  12194  explecnv  12195  absltap  12199  absgtap  12200  georeclim  12203  geoisumr  12208  cvgratnnlemnexp  12214  cvgratnnlemmn  12215  cvgratnnlemabsle  12217  cvgratnnlemfm  12219  cvgratnnlemrate  12220  cvgratnn  12221  cvgratz  12222  mertenslemub  12224  mertenslemi1  12225  mertenslem2  12226  fprodabs  12306  efcllemp  12348  efaddlem  12364  eftlub  12380  ef01bndlem  12446  sin01bnd  12447  cos01bnd  12448  absef  12460  dvdsabseq  12537  alzdvds  12544  dvdsbnd  12656  sqnprm  12837  pclemub  12989  mul4sqlem  13095  addcncntoplem  15443  mulcncflem  15489  cnopnap  15493  maxcncf  15497  mincncf  15498  limcimolemlt  15546  cnplimclemle  15550  limccnp2lem  15558  dveflem  15608  rpabscxpbnd  15822  pellexlem2  15863  lgsdirprm  15924  lgsdilem2  15926  lgsne0  15928  lgsabs1  15929  2sqlem1  16004  mul2sq  16006  2sqlem3  16007  qdencn  16824  apdifflemf  16847  apdiff  16849  ltlenmkv  16873