ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abscld Unicode version

Theorem abscld 11174
Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
abscld  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem abscld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abscl 11044 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
31, 2syl 14 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2148   ` cfv 5212   CCcc 7800   RRcr 7801   abscabs 10990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  maxabsle  11197  maxabslemlub  11200  maxabslemval  11201  maxcl  11203  dfabsmax  11210  maxltsup  11211  max0addsup  11212  minabs  11228  bdtrilem  11231  bdtri  11232  mul0inf  11233  climuni  11285  climabs0  11299  mulcn2  11304  reccn2ap  11305  cn1lem  11306  cjcn2  11308  climsqz  11327  climsqz2  11328  climcvg1nlem  11341  fsumabs  11457  iserabs  11467  divcnv  11489  expcnv  11496  explecnv  11497  absltap  11501  absgtap  11502  georeclim  11505  geoisumr  11510  cvgratnnlemnexp  11516  cvgratnnlemmn  11517  cvgratnnlemabsle  11519  cvgratnnlemfm  11521  cvgratnnlemrate  11522  cvgratnn  11523  cvgratz  11524  mertenslemub  11526  mertenslemi1  11527  mertenslem2  11528  fprodabs  11608  efcllemp  11650  efaddlem  11666  eftlub  11682  ef01bndlem  11748  sin01bnd  11749  cos01bnd  11750  absef  11761  dvdsabseq  11836  alzdvds  11843  dvdsbnd  11940  sqnprm  12119  pclemub  12270  mul4sqlem  12374  addcncntoplem  13718  mulcncflem  13757  cnopnap  13761  limcimolemlt  13800  cnplimclemle  13804  limccnp2lem  13812  dveflem  13854  rpabscxpbnd  14026  lgsdirprm  14102  lgsdilem2  14104  lgsne0  14106  lgsabs1  14107  2sqlem1  14117  mul2sq  14119  2sqlem3  14120  qdencn  14431  apdifflemf  14450  apdiff  14452
  Copyright terms: Public domain W3C validator