Theorem abscld 11947

Description: Real closure of absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
abscld	|- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

Proof of Theorem abscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		abscl 11817	. 2 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377   CCcc 8177   RRcr 8178   abscabs 11763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  maxabsle  11970  maxabslemlub  11973  maxabslemval  11974  maxcl  11976  dfabsmax  11983  maxltsup  11984  max0addsup  11985  minabs  12002  bdtrilem  12005  bdtri  12006  mul0inf  12007  climuni  12059  climabs0  12073  mulcn2  12078  reccn2ap  12079  cn1lem  12080  cjcn2  12082  climsqz  12101  climsqz2  12102  climcvg1nlem  12115  fsumabs  12232  iserabs  12242  divcnv  12264  expcnv  12271  explecnv  12272  absltap  12276  absgtap  12277  georeclim  12280  geoisumr  12285  cvgratnnlemnexp  12291  cvgratnnlemmn  12292  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemfm  12296  cvgratnnlemrate  12297  cvgratnn  12298  cvgratz  12299  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  fprodabs  12383  efcllemp  12425  efaddlem  12441  eftlub  12457  ef01bndlem  12523  sin01bnd  12524  cos01bnd  12525  absef  12537  dvdsabseq  12614  alzdvds  12621  dvdsbnd  12733  sqnprm  12914  pclemub  13066  mul4sqlem  13172  addcncntoplem  15662  mulcncflem  15708  cnopnap  15712  maxcncf  15716  mincncf  15717  limcimolemlt  15765  cnplimclemle  15769  limccnp2lem  15777  dveflem  15827  rpabscxpbnd  16042  pellexlem2  16092  lgsdirprm  16153  lgsdilem2  16155  lgsne0  16157  lgsabs1  16158  2sqlem1  16233  mul2sq  16235  2sqlem3  16236  dichmul0orlem2  16754  dichmul0orlem3  16755  dichmul0orlem4  16756  dichmul0orlem5  16757  dichmul0orlem6  16758  dichmul0orlem7  16759  qdencn  17072  apdifflemf  17095  apdiff  17097  ltlenmkv  17120