Theorem dvdsexp 11870

Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem dvdsexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uznn0sub 9562	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant3 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
4		zexpcl 10538	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ)
6		zexpcl 10538	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
7	6	3adant3 1017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ)
8		dvdsmul2 11824	. . 3 ⊢ (((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
9	5, 7, 8	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
10	1	zcnd 9379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simp2 998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
12	10, 11, 3	expaddd 10659	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)))
13		eluzelcn 9542	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant3 1020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
15	11	nn0cnd 9234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	14, 15	npcand 8275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑁 − 𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
17	16	oveq2d 5894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑀) + 𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
18	12, 17	eqtr3d 2212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑀)) · (𝐴↑𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
19	9, 18	breqtrd 4031	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑀) ∥ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812   + caddc 7817   · cmul 7819   − cmin 8131  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  ↑cexp 10522   ∥ cdvds 11797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-dvds 11798

This theorem is referenced by:  pcpremul  12296  pcdvdsb  12322