Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsexp GIF version

Theorem dvdsexp 11570
 Description: A power divides a power with a greater exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsexp ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∥ (𝐴𝑁))

Proof of Theorem dvdsexp
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 uznn0sub 9369 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1004 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
4 zexpcl 10320 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
51, 3, 4syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
6 zexpcl 10320 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℤ)
763adant3 1001 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∈ ℤ)
8 dvdsmul2 11527 . . 3 (((𝐴↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)))
95, 7, 8syl2anc 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∥ ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)))
101zcnd 9186 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simp2 982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1210, 11, 3expaddd 10438 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)))
13 eluzelcn 9349 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
14133ad2ant3 1004 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1511nn0cnd 9044 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
1614, 15npcand 8089 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
1716oveq2d 5790 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴↑((𝑁𝑀) + 𝑀)) = (𝐴𝑁))
1812, 17eqtr3d 2174 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐴↑(𝑁𝑀)) · (𝐴𝑀)) = (𝐴𝑁))
199, 18breqtrd 3954 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑀) ∥ (𝐴𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7630   + caddc 7635   · cmul 7637   − cmin 7945  ℕ0cn0 8989  ℤcz 9066  ℤ≥cuz 9338  ↑cexp 10304   ∥ cdvds 11504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-dvds 11505 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator