ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zsqcl Unicode version

Theorem zsqcl 10533
Description: Integers are closed under squaring. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsqcl  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsqcl
StepHypRef Expression
1 2nn0 9139 . 2  |-  2  e.  NN0
2 zexpcl 10478 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 423 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141  (class class class)co 5850   2c2 8916   NN0cn0 9122   ZZcz 9199   ^cexp 10462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-seqfrec 10389  df-exp 10463
This theorem is referenced by:  zsqcl2  10540  zesq  10581  sqoddm1div8  10616  dvdssqim  11966  dvdssq  11973  isprm5lem  12082  sqrt2irrlem  12102  nn0gcdsq  12141  numdensq  12143  pythagtriplem2  12207  pythagtriplem3  12208  pythagtrip  12224  pockthg  12296  4sqlem8  12324  4sqlem10  12326  lgsval  13620  lgscllem  13623  lgsdir  13651  lgsne0  13654  lgsmulsqcoprm  13662  lgsdinn0  13664  2sqlem3  13668  2sqlem4  13669  2sqlem8  13674
  Copyright terms: Public domain W3C validator