Theorem zsqcl 10832

Description: Integers are closed under squaring. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqcl	|- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )

Proof of Theorem zsqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9386	. 2 |- 2 e. NN0
2		zexpcl 10776	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
3	1, 2	mpan2 425	1 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   2c2 9161   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   ^cexp 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-seqfrec 10670  df-exp 10761

This theorem is referenced by:  zsqcl2  10839  zesq  10880  sqoddm1div8  10915  dvdssqim  12545  dvdssq  12552  isprm5lem  12663  sqrt2irrlem  12683  nn0gcdsq  12722  numdensq  12724  pythagtriplem2  12789  pythagtriplem3  12790  pythagtrip  12806  pockthg  12880  4sqlem8  12908  4sqlem10  12910  4sqlemafi  12918  4sqlemffi  12919  4sqleminfi  12920  4sqexercise1  12921  4sqexercise2  12922  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  4sqlem14  12927  4sqlem15  12928  4sqlem16  12929  lgsval  15683  lgscllem  15686  lgsdir  15714  lgsne0  15717  lgsmulsqcoprm  15725  lgsdinn0  15727  2lgsoddprmlem2  15785  2sqlem3  15796  2sqlem4  15797  2sqlem8  15802