Theorem dvdssqlem 10894

Description: Lemma for dvdssq 10895. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8702	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2		nnz 8702	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		dvdssqim 10888	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
5		sqgcd 10893	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
6	5	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
7		nnsqcl 9922	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
8		nnsqcl 9922	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9		gcdeq 10887	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. NN /\ ( N ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
10	7, 8, 9	syl2an 283	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
11	10	biimpar 291	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
12	6, 11	eqtrd 2117	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) )
13		gcdcl 10833	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
14	1, 2, 13	syl2an 283	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0red 8660	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
16	14	nn0ge0d 8662	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( M gcd N ) )
17		nnre 8364	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
18	17	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
19		nnnn0 8613	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20	19	nn0ge0d 8662	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
21	20	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ M )
22		sq11 9925	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M gcd N ) e. RR /\ 0 <_ ( M gcd N ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 <_ M ) ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
23	15, 16, 18, 21, 22	syl22anc 1173	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
24	23	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
25	12, 24	mpbid 145	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( M gcd N ) = M )
26		gcddvds 10830	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
27	1, 2, 26	syl2an 283	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
28	27	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
29	28	simprd 112	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( M gcd N ) || N )
30	25, 29	eqbrtrrd 3842	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> M || N )
31	30	ex 113	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) -> M || N ) )
32	4, 31	impbid 127	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1287   e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   RRcr 7293   0cc0 7294   <_ cle 7467   NNcn 8357   2c2 8407   NN0cn0 8606   ZZcz 8683   ^cexp 9852   || cdvds 10671   gcd cgcd 10813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9853  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173  df-rsqrt 10326  df-abs 10327  df-dvds 10672  df-gcd 10814

This theorem is referenced by:  dvdssq  10895