ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssqlem Unicode version

Theorem dvdssqlem 10894
Description: Lemma for dvdssq 10895. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssqlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqlem
StepHypRef Expression
1 nnz 8702 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
2 nnz 8702 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
3 dvdssqim 10888 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
5 sqgcd 10893 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
65adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
7 nnsqcl 9922 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
8 nnsqcl 9922 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
9 gcdeq 10887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  NN  /\  ( N ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
107, 8, 9syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1110biimpar 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
126, 11eqtrd 2117 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 ) )
13 gcdcl 10833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
141, 2, 13syl2an 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
1514nn0red 8660 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  RR )
1614nn0ge0d 8662 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
17 nnre 8364 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1817adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
19 nnnn0 8613 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
2019nn0ge0d 8662 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
2120adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  M )
22 sq11 9925 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  gcd  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( M  gcd  N ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )  -> 
( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M  gcd  N
)  =  M ) )
2315, 16, 18, 21, 22syl22anc 1173 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M  gcd  N
)  =  M ) )
2423adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( M ^ 2 )  <->  ( M  gcd  N )  =  M ) )
2512, 24mpbid 145 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  M )
26 gcddvds 10830 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
271, 2, 26syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
2827adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
2928simprd 112 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( M  gcd  N )  ||  N )
3025, 29eqbrtrrd 3842 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  M  ||  N
)
3130ex 113 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  ->  M  ||  N ) )
324, 31impbid 127 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   RRcr 7293   0cc0 7294    <_ cle 7467   NNcn 8357   2c2 8407   NN0cn0 8606   ZZcz 8683   ^cexp 9852    || cdvds 10671    gcd cgcd 10813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9853  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173  df-rsqrt 10326  df-abs 10327  df-dvds 10672  df-gcd 10814
This theorem is referenced by:  dvdssq  10895
  Copyright terms: Public domain W3C validator