Theorem dvdssqlem 12167

Description: Lemma for dvdssq 12168. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9336	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2		nnz 9336	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		dvdssqim 12161	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
5		sqgcd 12166	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
7		nnsqcl 10680	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
8		nnsqcl 10680	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9		gcdeq 12160	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. NN /\ ( N ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
11	10	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
12	6, 11	eqtrd 2226	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) )
13		gcdcl 12103	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
14	1, 2, 13	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0red 9294	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
16	14	nn0ge0d 9296	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( M gcd N ) )
17		nnre 8989	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
19		nnnn0 9247	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20	19	nn0ge0d 9296	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
21	20	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ M )
22		sq11 10683	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M gcd N ) e. RR /\ 0 <_ ( M gcd N ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 <_ M ) ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
23	15, 16, 18, 21, 22	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
24	23	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
25	12, 24	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( M gcd N ) = M )
26		gcddvds 12100	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
27	1, 2, 26	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
28	27	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
29	28	simprd 114	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( M gcd N ) || N )
30	25, 29	eqbrtrrd 4053	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> M || N )
31	30	ex 115	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) -> M || N ) )
32	4, 31	impbid 129	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   <_ cle 8055   NNcn 8982   2c2 9033   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ^cexp 10609   || cdvds 11930   gcd cgcd 12079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080

This theorem is referenced by:  dvdssq  12168