ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdssqlem Unicode version

Theorem dvdssqlem 10813
Description: Lemma for dvdssq 10814. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdssqlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqlem
StepHypRef Expression
1 nnz 8679 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
2 nnz 8679 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
3 dvdssqim 10807 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  ->  ( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
5 sqgcd 10812 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
65adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) ) )
7 nnsqcl 9875 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 2 )  e.  NN )
8 nnsqcl 9875 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
9 gcdeq 10806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ^ 2 )  e.  NN  /\  ( N ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
107, 8, 9syl2an 283 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M ^ 2 )  ||  ( N ^ 2 ) ) )
1110biimpar 291 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M ^ 2 )  gcd  ( N ^ 2 ) )  =  ( M ^ 2 ) )
126, 11eqtrd 2117 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 ) )
13 gcdcl 10752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
141, 2, 13syl2an 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
1514nn0red 8637 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  RR )
1614nn0ge0d 8639 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
17 nnre 8341 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
1817adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
19 nnnn0 8590 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
2019nn0ge0d 8639 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
2120adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  M )
22 sq11 9878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  gcd  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( M  gcd  N ) )  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )  -> 
( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M  gcd  N
)  =  M ) )
2315, 16, 18, 21, 22syl22anc 1173 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^
2 )  =  ( M ^ 2 )  <-> 
( M  gcd  N
)  =  M ) )
2423adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( ( M  gcd  N ) ^ 2 )  =  ( M ^ 2 )  <->  ( M  gcd  N )  =  M ) )
2512, 24mpbid 145 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  M )
26 gcddvds 10749 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
271, 2, 26syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
2827adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
2928simprd 112 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  ( M  gcd  N )  ||  N )
3025, 29eqbrtrrd 3836 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 ) )  ->  M  ||  N
)
3130ex 113 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M ^
2 )  ||  ( N ^ 2 )  ->  M  ||  N ) )
324, 31impbid 127 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( M ^ 2 ) 
||  ( N ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   RRcr 7270   0cc0 7271    <_ cle 7444   NNcn 8334   2c2 8384   NN0cn0 8583   ZZcz 8660   ^cexp 9805    || cdvds 10590    gcd cgcd 10732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-fl 9580  df-mod 9633  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-gcd 10733
This theorem is referenced by:  dvdssq  10814
  Copyright terms: Public domain W3C validator