Theorem dvdssqlem 10813

Description: Lemma for dvdssq 10814. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqlem	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem dvdssqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8679	. . 3 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
2		nnz 8679	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		dvdssqim 10807	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 283	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N -> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
5		sqgcd 10812	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
6	5	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) )
7		nnsqcl 9875	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( M ^ 2 ) e. NN )
8		nnsqcl 9875	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
9		gcdeq 10806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. NN /\ ( N ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
10	7, 8, 9	syl2an 283	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )
11	10	biimpar 291	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M ^ 2 ) gcd ( N ^ 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
12	6, 11	eqtrd 2117	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) )
13		gcdcl 10752	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
14	1, 2, 13	syl2an 283	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. NN0 )
15	14	nn0red 8637	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M gcd N ) e. RR )
16	14	nn0ge0d 8639	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( M gcd N ) )
17		nnre 8341	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
18	17	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. RR )
19		nnnn0 8590	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
20	19	nn0ge0d 8639	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> 0 <_ M )
21	20	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 <_ M )
22		sq11 9878	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M gcd N ) e. RR /\ 0 <_ ( M gcd N ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 <_ M ) ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
23	15, 16, 18, 21, 22	syl22anc 1173	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
24	23	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( ( M gcd N ) ^ 2 ) = ( M ^ 2 ) <-> ( M gcd N ) = M ) )
25	12, 24	mpbid 145	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( M gcd N ) = M )
26		gcddvds 10749	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
27	1, 2, 26	syl2an 283	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
28	27	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( ( M gcd N ) || M /\ ( M gcd N ) || N ) )
29	28	simprd 112	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> ( M gcd N ) || N )
30	25, 29	eqbrtrrd 3836	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) -> M || N )
31	30	ex 113	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) -> M || N ) )
32	4, 31	impbid 127	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( M ^ 2 ) || ( N ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1287   e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   RRcr 7270   0cc0 7271   <_ cle 7444   NNcn 8334   2c2 8384   NN0cn0 8583   ZZcz 8660   ^cexp 9805   || cdvds 10590   gcd cgcd 10732

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-sup 6600  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-fz 9334  df-fzo 9458  df-fl 9580  df-mod 9633  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-gcd 10733

This theorem is referenced by:  dvdssq  10814