Theorem eirrap 12570

Description: _e is irrational. That is, for any rational number, _e is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and saying that _e is not rational, which is eirr 12571. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eirrap	|- ( Q e. QQ -> _e # Q )

Proof of Theorem eirrap

Dummy variables a b n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10038	. . 3 |- ( Q e. QQ <-> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
2	1	biimpi 120	. 2 |- ( Q e. QQ -> E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) )
3		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
4		simplrl 541	. . . . . 6 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> a e. ZZ )
5		simplrr 542	. . . . . 6 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> b e. NN )
6	3, 4, 5	eirraplem 12569	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> _e # ( a / b ) )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> Q = ( a / b ) )
8	6, 7	breqtrrd 4159	. . . 4 |- ( ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) /\ Q = ( a / b ) ) -> _e # Q )
9	8	ex 115	. . 3 |- ( ( Q e. QQ /\ ( a e. ZZ /\ b e. NN ) ) -> ( Q = ( a / b ) -> _e # Q ) )
10	9	rexlimdvva 2676	. 2 |- ( Q e. QQ -> ( E. a e. ZZ E. b e. NN Q = ( a / b ) -> _e # Q ) )
11	2, 10	mpd 13	1 |- ( Q e. QQ -> _e # Q )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   QQcq 10035   !cfa 11185   _eceu 12435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-e 12441

This theorem is used by:  eirr  12571  egt2lt3  12572