Theorem eirrap 11229

Description: e is irrational. That is, for any rational number, e is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and saying that e is not rational, which is eirr 11230. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eirrap	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → e # 𝑄)

Proof of Theorem eirrap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9206	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
2	1	biimpi 119	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
3		eqid 2095	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
4		simplrl 503	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		simplrr 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	eirraplem 11228	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → e # (𝑎 / 𝑏))
7		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
8	6, 7	breqtrrd 3893	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → e # 𝑄)
9	8	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑄 = (𝑎 / 𝑏) → e # 𝑄))
10	9	rexlimdvva 2510	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏) → e # 𝑄))
11	2, 10	mpd 13	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → e # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867   ↦ cmpt 3921  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  1c1 7448   # cap 8155   / cdiv 8236  ℕcn 8520  ℕ₀cn0 8771  ℤcz 8848  ℚcq 9203  !cfa 10264  eceu 11097

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-bc 10287  df-ihash 10315  df-shft 10380  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10912  df-ef 11102  df-e 11103

This theorem is referenced by:  eirr  11230  egt2lt3  11231