Theorem ex-ceil 12541

Description: Example for df-ceil 9885. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 12540	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2		3z 8935	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		2nn 8733	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 9266	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	mp2an 420	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
6		qnegcl 9278	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
8		ceilqval 9920	. . . . 5 ⊢ (-(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
10		qcn 9276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
11	5, 10	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
12	11	negnegi 7903	. . . . . . . . 9 ⊢ --(3 / 2) = (3 / 2)
13	12	eqcomi 2104	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = --(3 / 2)
14	13	fveq2i 5356	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
15	14	eqeq1i 2107	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
16	15	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
17	16	negeqd 7828	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
18	9, 17	syl5eq 2144	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
19		ceilqval 9920	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
20	5, 19	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
21		negeq 7826	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
22		2cn 8649	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	negnegi 7903	. . . . 5 ⊢ --2 = 2
24	21, 23	syl6eq 2148	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
25	20, 24	syl5eq 2144	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
26	18, 25	anim12ci 335	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
27	1, 26	ax-mp 7	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  1c1 7501  -cneg 7805   / cdiv 8293  ℕcn 8578  2c2 8629  3c3 8630  ℤcz 8906  ℚcq 9261  ⌊cfl 9882  ⌈cceil 9883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-q 9262  df-rp 9292  df-fl 9884  df-ceil 9885

This theorem is referenced by: (None)