Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-ceil GIF version

Theorem ex-ceil 13045
 Description: Example for df-ceil 10058. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-ceil ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil
StepHypRef Expression
1 ex-fl 13044 . 2 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2 3z 9097 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
3 2nn 8895 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
4 znq 9430 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
52, 3, 4mp2an 422 . . . . . 6 (3 / 2) ∈ ℚ
6 qnegcl 9442 . . . . . 6 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 -(3 / 2) ∈ ℚ
8 ceilqval 10093 . . . . 5 (-(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
10 qcn 9440 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (3 / 2) ∈ ℂ
1211negnegi 8046 . . . . . . . . 9 --(3 / 2) = (3 / 2)
1312eqcomi 2143 . . . . . . . 8 (3 / 2) = --(3 / 2)
1413fveq2i 5424 . . . . . . 7 (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
1514eqeq1i 2147 . . . . . 6 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1615biimpi 119 . . . . 5 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1716negeqd 7971 . . . 4 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
189, 17syl5eq 2184 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
19 ceilqval 10093 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
205, 19ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
21 negeq 7969 . . . . 5 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
22 2cn 8805 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2322negnegi 8046 . . . . 5 --2 = 2
2421, 23syl6eq 2188 . . . 4 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
2520, 24syl5eq 2184 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
2618, 25anim12ci 337 . 2 (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
271, 26ax-mp 5 1 ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7632  1c1 7635  -cneg 7948   / cdiv 8446  ℕcn 8734  2c2 8785  3c3 8786  ℤcz 9068  ℚcq 9425  ⌊cfl 10055  ⌈cceil 10056 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-q 9426  df-rp 9456  df-fl 10057  df-ceil 10058 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator