Theorem ex-ceil 16114

Description: Example for df-ceil 10499. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 16113	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2		3z 9483	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		2nn 9280	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 9827	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
6		qnegcl 9839	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
8		ceilqval 10536	. . . . 5 ⊢ (-(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
10		qcn 9837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
12	11	negnegi 8424	. . . . . . . . 9 ⊢ --(3 / 2) = (3 / 2)
13	12	eqcomi 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = --(3 / 2)
14	13	fveq2i 5632	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
15	14	eqeq1i 2237	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
16	15	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
17	16	negeqd 8349	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
18	9, 17	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
19		ceilqval 10536	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
20	5, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
21		negeq 8347	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
22		2cn 9189	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	negnegi 8424	. . . . 5 ⊢ --2 = 2
24	21, 23	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
25	20, 24	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
26	18, 25	anim12ci 339	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  1c1 8008  -cneg 8326   / cdiv 8827  ℕcn 9118  2c2 9169  3c3 9170  ℤcz 9454  ℚcq 9822  ⌊cfl 10496  ⌈cceil 10497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-ceil 10499

This theorem is referenced by: (None)