Theorem ex-ceil 13109

Description: Example for df-ceil 10075. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 13108	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2		3z 9107	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		2nn 8905	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 9443	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
6		qnegcl 9455	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
8		ceilqval 10110	. . . . 5 ⊢ (-(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
10		qcn 9453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
12	11	negnegi 8056	. . . . . . . . 9 ⊢ --(3 / 2) = (3 / 2)
13	12	eqcomi 2144	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = --(3 / 2)
14	13	fveq2i 5432	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
15	14	eqeq1i 2148	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
16	15	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
17	16	negeqd 7981	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
18	9, 17	syl5eq 2185	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
19		ceilqval 10110	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
20	5, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
21		negeq 7979	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
22		2cn 8815	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	negnegi 8056	. . . . 5 ⊢ --2 = 2
24	21, 23	eqtrdi 2189	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
25	20, 24	syl5eq 2185	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
26	18, 25	anim12ci 337	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  1c1 7645  -cneg 7958   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  3c3 8796  ℤcz 9078  ℚcq 9438  ⌊cfl 10072  ⌈cceil 10073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074  df-ceil 10075

This theorem is referenced by: (None)