Theorem ex-ceil 16962

Description: Example for df-ceil 10722. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘ -(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 16961	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2)
2		3z 9682	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		2nn 9477	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 10039	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
6		qnegcl 10051	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
8		ceilqval 10763	. . . . 5 ⊢ ( -(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘ -(3 / 2)) = -(⌊‘ - -(3 / 2)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘ -(3 / 2)) = -(⌊‘ - -(3 / 2))
10		qcn 10049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
12	11	negnegi 8603	. . . . . . . . 9 ⊢ - -(3 / 2) = (3 / 2)
13	12	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = - -(3 / 2)
14	13	fveq2i 5701	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘ - -(3 / 2))
15	14	eqeq1i 2246	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘ - -(3 / 2)) = 1)
16	15	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘ - -(3 / 2)) = 1)
17	16	negeqd 8528	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘ - -(3 / 2)) = -1)
18	9, 17	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘ -(3 / 2)) = -1)
19		ceilqval 10763	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘ -(3 / 2)))
20	5, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘ -(3 / 2))
21		negeq 8526	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘ -(3 / 2)) = - -2)
22		2cn 9384	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	negnegi 8603	. . . . 5 ⊢ - -2 = 2
24	21, 23	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘ -(3 / 2)) = 2)
25	20, 24	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ ((⌊‘ -(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
26	18, 25	anim12ci 339	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘ -(3 / 2)) = -1))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘ -(3 / 2)) = -1)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  1c1 8186   -cneg 8505   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  3c3 9365  ℤcz 9653  ℚcq 10034  ⌊cfl 10719  ⌈cceil 10720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-q 10035  df-rp 10071  df-fl 10721  df-ceil 10722

This theorem is used by: (None)