Theorem ex-ceil 15372

Description: Example for df-ceil 10361. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-ceil	⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-fl 15371	. 2 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2		3z 9355	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		2nn 9152	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 9698	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (3 / 2) ∈ ℚ
6		qnegcl 9710	. . . . . 6 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ -(3 / 2) ∈ ℚ
8		ceilqval 10398	. . . . 5 ⊢ (-(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
10		qcn 9708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
12	11	negnegi 8296	. . . . . . . . 9 ⊢ --(3 / 2) = (3 / 2)
13	12	eqcomi 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (3 / 2) = --(3 / 2)
14	13	fveq2i 5561	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
15	14	eqeq1i 2204	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
16	15	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
17	16	negeqd 8221	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
18	9, 17	eqtrid 2241	. . 3 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
19		ceilqval 10398	. . . . 5 ⊢ ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
20	5, 19	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
21		negeq 8219	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
22		2cn 9061	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
23	22	negnegi 8296	. . . . 5 ⊢ --2 = 2
24	21, 23	eqtrdi 2245	. . . 4 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
25	20, 24	eqtrid 2241	. . 3 ⊢ ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
26	18, 25	anim12ci 339	. 2 ⊢ (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
27	1, 26	ax-mp 5	1 ⊢ ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  1c1 7880  -cneg 8198   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  3c3 9042  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ⌊cfl 10358  ⌈cceil 10359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-ceil 10361

This theorem is referenced by: (None)