ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-ceil GIF version

Theorem ex-ceil 14131
Description: Example for df-ceil 10254. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-ceil ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)

Proof of Theorem ex-ceil
StepHypRef Expression
1 ex-fl 14130 . 2 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
2 3z 9268 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
3 2nn 9066 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
4 znq 9610 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 / 2) ∈ ℚ)
52, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6 (3 / 2) ∈ ℚ
6 qnegcl 9622 . . . . . 6 ((3 / 2) ∈ ℚ → -(3 / 2) ∈ ℚ)
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 -(3 / 2) ∈ ℚ
8 ceilqval 10289 . . . . 5 (-(3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2)))
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘-(3 / 2)) = -(⌊‘--(3 / 2))
10 qcn 9620 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 2) ∈ ℚ → (3 / 2) ∈ ℂ)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (3 / 2) ∈ ℂ
1211negnegi 8214 . . . . . . . . 9 --(3 / 2) = (3 / 2)
1312eqcomi 2181 . . . . . . . 8 (3 / 2) = --(3 / 2)
1413fveq2i 5514 . . . . . . 7 (⌊‘(3 / 2)) = (⌊‘--(3 / 2))
1514eqeq1i 2185 . . . . . 6 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ↔ (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1615biimpi 120 . . . . 5 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌊‘--(3 / 2)) = 1)
1716negeqd 8139 . . . 4 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → -(⌊‘--(3 / 2)) = -1)
189, 17eqtrid 2222 . . 3 ((⌊‘(3 / 2)) = 1 → (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
19 ceilqval 10289 . . . . 5 ((3 / 2) ∈ ℚ → (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2)))
205, 19ax-mp 5 . . . 4 (⌈‘(3 / 2)) = -(⌊‘-(3 / 2))
21 negeq 8137 . . . . 5 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = --2)
22 2cn 8976 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2322negnegi 8214 . . . . 5 --2 = 2
2421, 23eqtrdi 2226 . . . 4 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → -(⌊‘-(3 / 2)) = 2)
2520, 24eqtrid 2222 . . 3 ((⌊‘-(3 / 2)) = -2 → (⌈‘(3 / 2)) = 2)
2618, 25anim12ci 339 . 2 (((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2) → ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1))
271, 26ax-mp 5 1 ((⌈‘(3 / 2)) = 2 ∧ (⌈‘-(3 / 2)) = -1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7797  1c1 7800  -cneg 8116   / cdiv 8615  cn 8905  2c2 8956  3c3 8957  cz 9239  cq 9605  cfl 10251  cceil 10252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-q 9606  df-rp 9638  df-fl 10253  df-ceil 10254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator