ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1exp Unicode version

Theorem 1exp 10546
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 7951 . . . 4  |-  1  e.  _V
21snid 3623 . . 3  |-  1  e.  { 1 }
3 1ap0 8545 . . 3  |-  1 #  0
4 ax-1cn 7903 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 snssi 3736 . . . . 5  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 1 }  C_  CC )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  { 1 }  C_  CC
7 elsni 3610 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  x  =  1 )
8 elsni 3610 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { 1 }  ->  y  =  1 )
9 oveq12 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 1  x.  1 ) )
10 1t1e1 9069 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
119, 10eqtrdi 2226 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  1 )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
127, 8, 11syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  =  1 )
13 eleq1 2240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  _V  <->  1  e.  _V ) )
141, 13mpbiri 168 . . . . . . 7  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
x  x.  y )  e.  _V )
15 elsng 3607 . . . . . . 7  |-  ( ( x  x.  y )  e.  _V  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { 1 }  <->  ( x  x.  y )  =  1 ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { 1 }  <->  ( x  x.  y )  =  1 ) )
1716ibir 177 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  y )  =  1  ->  (
x  x.  y )  e.  { 1 } )
1812, 17syl 14 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  y  e. 
{ 1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
1 } )
197oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  ( 1  /  1 ) )
20 1div1e1 8659 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
2119, 20eqtrdi 2226 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  =  1 )
22 eleq1 2240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
( 1  /  x
)  e.  _V  <->  1  e.  _V ) )
231, 22mpbiri 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  _V )
24 elsng 3607 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  _V  ->  (
( 1  /  x
)  e.  { 1 }  <->  ( 1  /  x )  =  1 ) )
2523, 24syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
( 1  /  x
)  e.  { 1 }  <->  ( 1  /  x )  =  1 ) )
2625ibir 177 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  x )  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  { 1 } )
2721, 26syl 14 . . . . 5  |-  ( x  e.  { 1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  {
1 } )
2827adantr 276 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { 1 }  /\  x #  0 )  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ 1 } )
296, 18, 2, 28expcl2lemap 10529 . . 3  |-  ( ( 1  e.  { 1 }  /\  1 #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1 ^ N )  e.  {
1 } )
302, 3, 29mp3an12 1327 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  e.  { 1 } )
31 elsni 3610 . 2  |-  ( ( 1 ^ N )  e.  { 1 }  ->  ( 1 ^ N )  =  1 )
3230, 31syl 14 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ^ N )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   {csn 3592   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811    x. cmul 7815   # cap 8536    / cdiv 8627   ZZcz 9251   ^cexp 10516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-exp 10517
This theorem is referenced by:  exprecap  10558  sq1  10610  iexpcyc  10621  binom1p  11488  binom11  11489  esum  11665  ege2le3  11674  eirraplem  11779  odzdvds  12239  ef2kpi  14120
  Copyright terms: Public domain W3C validator