Theorem 1exp 10546

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	|- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 7951	. . . 4 |- 1 e. _V
2	1	snid 3623	. . 3 |- 1 e. { 1 }
3		1ap0 8545	. . 3 |- 1 # 0
4		ax-1cn 7903	. . . . 5 |- 1 e. CC
5		snssi 3736	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> { 1 } C_ CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- { 1 } C_ CC
7		elsni 3610	. . . . . 6 |- ( x e. { 1 } -> x = 1 )
8		elsni 3610	. . . . . 6 |- ( y e. { 1 } -> y = 1 )
9		oveq12 5883	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = 1 ) -> ( x x. y ) = ( 1 x. 1 ) )
10		1t1e1 9069	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2226	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = 1 ) -> ( x x. y ) = 1 )
12	7, 8, 11	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. { 1 } /\ y e. { 1 } ) -> ( x x. y ) = 1 )
13		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( ( x x. y ) e. _V <-> 1 e. _V ) )
14	1, 13	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( x x. y ) e. _V )
15		elsng 3607	. . . . . . 7 |- ( ( x x. y ) e. _V -> ( ( x x. y ) e. { 1 } <-> ( x x. y ) = 1 ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( ( x x. y ) e. { 1 } <-> ( x x. y ) = 1 ) )
17	16	ibir 177	. . . . 5 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( x x. y ) e. { 1 } )
18	12, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( x e. { 1 } /\ y e. { 1 } ) -> ( x x. y ) e. { 1 } )
19	7	oveq2d 5890	. . . . . . 7 |- ( x e. { 1 } -> ( 1 / x ) = ( 1 / 1 ) )
20		1div1e1 8659	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2226	. . . . . 6 |- ( x e. { 1 } -> ( 1 / x ) = 1 )
22		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( ( 1 / x ) e. _V <-> 1 e. _V ) )
23	1, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( 1 / x ) e. _V )
24		elsng 3607	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) e. _V -> ( ( 1 / x ) e. { 1 } <-> ( 1 / x ) = 1 ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( ( 1 / x ) e. { 1 } <-> ( 1 / x ) = 1 ) )
26	25	ibir 177	. . . . . 6 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( 1 / x ) e. { 1 } )
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { 1 } -> ( 1 / x ) e. { 1 } )
28	27	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. { 1 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { 1 } )
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 10529	. . 3 |- ( ( 1 e. { 1 } /\ 1 # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 ^ N ) e. { 1 } )
30	2, 3, 29	mp3an12 1327	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) e. { 1 } )
31		elsni 3610	. 2 |- ( ( 1 ^ N ) e. { 1 } -> ( 1 ^ N ) = 1 )
32	30, 31	syl 14	1 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   {csn 3592   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   x. cmul 7815   # cap 8536   / cdiv 8627   ZZcz 9251   ^cexp 10516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-seqfrec 10443  df-exp 10517

This theorem is referenced by:  exprecap  10558  sq1  10610  iexpcyc  10621  binom1p  11488  binom11  11489  esum  11665  ege2le3  11674  eirraplem  11779  odzdvds  12239  ef2kpi  14120