Theorem 1exp 10549

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	|- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 7952	. . . 4 |- 1 e. _V
2	1	snid 3624	. . 3 |- 1 e. { 1 }
3		1ap0 8547	. . 3 |- 1 # 0
4		ax-1cn 7904	. . . . 5 |- 1 e. CC
5		snssi 3737	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> { 1 } C_ CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- { 1 } C_ CC
7		elsni 3611	. . . . . 6 |- ( x e. { 1 } -> x = 1 )
8		elsni 3611	. . . . . 6 |- ( y e. { 1 } -> y = 1 )
9		oveq12 5884	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = 1 ) -> ( x x. y ) = ( 1 x. 1 ) )
10		1t1e1 9071	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2226	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = 1 ) -> ( x x. y ) = 1 )
12	7, 8, 11	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( x e. { 1 } /\ y e. { 1 } ) -> ( x x. y ) = 1 )
13		eleq1 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( ( x x. y ) e. _V <-> 1 e. _V ) )
14	1, 13	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( x x. y ) e. _V )
15		elsng 3608	. . . . . . 7 |- ( ( x x. y ) e. _V -> ( ( x x. y ) e. { 1 } <-> ( x x. y ) = 1 ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( ( x x. y ) e. { 1 } <-> ( x x. y ) = 1 ) )
17	16	ibir 177	. . . . 5 |- ( ( x x. y ) = 1 -> ( x x. y ) e. { 1 } )
18	12, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ( x e. { 1 } /\ y e. { 1 } ) -> ( x x. y ) e. { 1 } )
19	7	oveq2d 5891	. . . . . . 7 |- ( x e. { 1 } -> ( 1 / x ) = ( 1 / 1 ) )
20		1div1e1 8661	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2226	. . . . . 6 |- ( x e. { 1 } -> ( 1 / x ) = 1 )
22		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( ( 1 / x ) e. _V <-> 1 e. _V ) )
23	1, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( 1 / x ) e. _V )
24		elsng 3608	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / x ) e. _V -> ( ( 1 / x ) e. { 1 } <-> ( 1 / x ) = 1 ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( ( 1 / x ) e. { 1 } <-> ( 1 / x ) = 1 ) )
26	25	ibir 177	. . . . . 6 |- ( ( 1 / x ) = 1 -> ( 1 / x ) e. { 1 } )
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { 1 } -> ( 1 / x ) e. { 1 } )
28	27	adantr 276	. . . 4 |- ( ( x e. { 1 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { 1 } )
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 10532	. . 3 |- ( ( 1 e. { 1 } /\ 1 # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( 1 ^ N ) e. { 1 } )
30	2, 3, 29	mp3an12 1327	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) e. { 1 } )
31		elsni 3611	. 2 |- ( ( 1 ^ N ) e. { 1 } -> ( 1 ^ N ) = 1 )
32	30, 31	syl 14	1 |- ( N e. ZZ -> ( 1 ^ N ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   {csn 3593   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812   x. cmul 7816   # cap 8538   / cdiv 8629   ZZcz 9253   ^cexp 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-seqfrec 10446  df-exp 10520

This theorem is referenced by:  exprecap  10561  sq1  10614  iexpcyc  10625  binom1p  11493  binom11  11494  esum  11670  ege2le3  11679  eirraplem  11784  odzdvds  12245  ef2kpi  14230  lgseisenlem1  14453  m1lgs  14455