Theorem fldiv4lem1div2 10666

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	|- ( N e. NN -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9938	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		1lt4 9411	. . . . . 6 |- 1 < 4
3		1nn0 9511	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
4		4nn 9400	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
5		divfl0 10655	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 1 < 4 <-> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 < 4 <-> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 )
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0
8		1z 9602	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
9		znq 9955	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
11		flqcl 10632	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. ZZ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. ZZ
13	12	zrei 9582	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. RR
14	13	eqlei 8366	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) <_ 0 )
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) <_ 0 )
16		fvoveq1 6072	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) )
17		oveq1 6056	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
18		1m1e0 9305	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2281	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
20	19	oveq1d 6064	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
21		2cn 9307	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 9329	. . . . . 6 |- 2 # 0
23	21, 22	div0api 9019	. . . . 5 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2281	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 0 )
25	15, 16, 24	3brtr4d 4140	. . 3 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
26		fldiv4lem1div2uz2 10665	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
27	25, 26	jaoi 724	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
28	1, 27	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   < clt 8307   <_ cle 8308   - cmin 8443   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   4c4 9289   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   QQcq 9950   |_cfl 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15920