Theorem fldiv4lem1div2 10514

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	|- ( N e. NN -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9790	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		1lt4 9273	. . . . . 6 |- 1 < 4
3		1nn0 9373	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
4		4nn 9262	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
5		divfl0 10503	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 1 < 4 <-> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 < 4 <-> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 )
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0
8		1z 9460	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
9		znq 9807	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
11		flqcl 10480	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. ZZ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. ZZ
13	12	zrei 9440	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. RR
14	13	eqlei 8228	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) <_ 0 )
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) <_ 0 )
16		fvoveq1 6017	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) )
17		oveq1 6001	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
18		1m1e0 9167	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
20	19	oveq1d 6009	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
21		2cn 9169	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 9191	. . . . . 6 |- 2 # 0
23	21, 22	div0api 8881	. . . . 5 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 0 )
25	15, 16, 24	3brtr4d 4114	. . 3 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
26		fldiv4lem1div2uz2 10513	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
27	25, 26	jaoi 721	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
28	1, 27	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   0cc0 7987   1c1 7988   < clt 8169   <_ cle 8170   - cmin 8305   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   4c4 9151   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   QQcq 9802   |_cfl 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fl 10477

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15719