Theorem fldiv4lem1div2 10376

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	|- ( N e. NN -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9672	. 2 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		1lt4 9156	. . . . . 6 |- 1 < 4
3		1nn0 9256	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
4		4nn 9145	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
5		divfl0 10365	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( 1 < 4 <-> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 ) )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 < 4 <-> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 )
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0
8		1z 9343	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
9		znq 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( 1 / 4 ) e. QQ )
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 4 ) e. QQ
11		flqcl 10342	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 4 ) e. QQ -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. ZZ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. ZZ
13	12	zrei 9323	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) e. RR
14	13	eqlei 8113	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) = 0 -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) <_ 0 )
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) <_ 0 )
16		fvoveq1 5941	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) = ( |_ ` ( 1 / 4 ) ) )
17		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
18		1m1e0 9051	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2242	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = 0 )
20	19	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
21		2cn 9053	. . . . . 6 |- 2 e. CC
22		2ap0 9075	. . . . . 6 |- 2 # 0
23	21, 22	div0api 8765	. . . . 5 |- ( 0 / 2 ) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2242	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = 0 )
25	15, 16, 24	3brtr4d 4061	. . 3 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
26		fldiv4lem1div2uz2 10375	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
27	25, 26	jaoi 717	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )
28	1, 27	sylbi 121	1 |- ( N e. NN -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   1c1 7873   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   4c4 9035   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   QQcq 9684   |_cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15171