Theorem fldiv4lem1div2 10362

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9658	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1lt4 9142	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
3		1nn0 9242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		4nn 9131	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		divfl0 10351	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) = 0
8		1z 9329	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		znq 9675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
11		flqcl 10328	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ
13	12	zrei 9309	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
14	13	eqlei 8099	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
16		fvoveq1 5929	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
17		oveq1 5913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 9037	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
20	19	oveq1d 5921	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
21		2cn 9039	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ap0 9061	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
23	21, 22	div0api 8751	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2238	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
25	15, 16, 24	3brtr4d 4057	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26		fldiv4lem1div2uz2 10361	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27	25, 26	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28	1, 27	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4025  ‘cfv 5242  (class class class)co 5906  0cc0 7858  1c1 7859   < clt 8040   ≤ cle 8041   − cmin 8176   / cdiv 8677  ℕcn 8968  2c2 9019  4c4 9021  ℕ₀cn0 9226  ℤcz 9303  ℤ_≥cuz 9578  ℚcq 9670  ⌊cfl 10323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-fl 10325

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15099