Theorem fldiv4lem1div2 10414

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1lt4 9182	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
3		1nn0 9282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		4nn 9171	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		divfl0 10403	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) = 0
8		1z 9369	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		znq 9715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
11		flqcl 10380	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ
13	12	zrei 9349	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
14	13	eqlei 8137	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
16		fvoveq1 5948	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
17		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 9076	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
20	19	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
21		2cn 9078	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ap0 9100	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
23	21, 22	div0api 8790	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2245	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
25	15, 16, 24	3brtr4d 4066	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26		fldiv4lem1div2uz2 10413	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27	25, 26	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28	1, 27	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   < clt 8078   ≤ cle 8079   − cmin 8214   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  4c4 9060  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ℚcq 9710  ⌊cfl 10375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15380