Theorem fldiv4lem1div2 10376

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9672	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1lt4 9156	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
3		1nn0 9256	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		4nn 9145	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		divfl0 10365	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) = 0
8		1z 9343	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		znq 9689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
11		flqcl 10342	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ
13	12	zrei 9323	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
14	13	eqlei 8113	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
16		fvoveq1 5941	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
17		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 9051	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
20	19	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
21		2cn 9053	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ap0 9075	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
23	21, 22	div0api 8765	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2242	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
25	15, 16, 24	3brtr4d 4061	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26		fldiv4lem1div2uz2 10375	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27	25, 26	jaoi 717	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28	1, 27	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  4c4 9035  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ℚcq 9684  ⌊cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15171