Theorem fldiv4lem1div2 10494

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 9770	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1lt4 9253	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
3		1nn0 9353	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		4nn 9242	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		divfl0 10483	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) = 0
8		1z 9440	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		znq 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
10	8, 4, 9	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
11		flqcl 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ
13	12	zrei 9420	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
14	13	eqlei 8208	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
16		fvoveq1 5997	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
17		oveq1 5981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 9147	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2258	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
20	19	oveq1d 5989	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
21		2cn 9149	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ap0 9171	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
23	21, 22	div0api 8861	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
25	15, 16, 24	3brtr4d 4094	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26		fldiv4lem1div2uz2 10493	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27	25, 26	jaoi 720	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28	1, 27	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 712   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  0cc0 7967  1c1 7968   < clt 8149   ≤ cle 8150   − cmin 8285   / cdiv 8787  ℕcn 9078  2c2 9129  4c4 9131  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ℤ_≥cuz 9690  ℚcq 9782  ⌊cfl 10455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0g  15699