Theorem fldiv4lem1div2 10744

Description: The floor of a positive integer divided by 4 is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4lem1div2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 10009	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		1lt4 9481	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
3		1nn0 9581	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		4nn 9470	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
5		divfl0 10733	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0))
6	3, 4, 5	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (1 < 4 ↔ (⌊‘(1 / 4)) = 0)
7	2, 6	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) = 0
8		1z 9672	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		znq 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 / 4) ∈ ℚ)
10	8, 4, 9	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℚ
11		flqcl 10710	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) ∈ ℚ → (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℤ
13	12	zrei 9652	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(1 / 4)) ∈ ℝ
14	13	eqlei 8419	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 4)) = 0 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
15	7, 14	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(1 / 4)) ≤ 0)
16		fvoveq1 6108	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(1 / 4)))
17		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
18		1m1e0 9374	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
20	19	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = (0 / 2))
21		2cn 9376	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		2ap0 9398	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
23	21, 22	div0api 9077	. . . . 5 ⊢ (0 / 2) = 0
24	20, 23	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = 0)
25	15, 16, 24	3brtr4d 4162	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
26		fldiv4lem1div2uz2 10743	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
27	25, 26	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
28	1, 27	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497   / cdiv 9003  ℕcn 9305  2c2 9356  4c4 9358  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ℤ_≥cuz 9923  ℚcq 10021  ⌊cfl 10705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fl 10707

This theorem is used by:  gausslemma2dlem0g  16186