Theorem frecuzrdg0 10290

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10276 for the description of G as the mapping from om to ( ZZ>= ` C ). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frecuzrdgrrn.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrrn.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrrn.2	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgtcl.3	|- ( ph -> T = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0	|- ( ph -> ( T ` C ) = A )

Distinct variable groups:   y, A   x, C, y   y, G   x, F, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   R( x, y)   T( x, y)   G( x)

Proof of Theorem frecuzrdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uz.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6		frecuzrdgtcl.3	. . . 4 |- ( ph -> T = ran R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtcl 10289	. . 3 |- ( ph -> T : ( ZZ>= ` C ) --> S )
8		ffun 5315	. . 3 |- ( T : ( ZZ>= ` C ) --> S -> Fun T )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun T )
10	5	fveq1i 5462	. . . . 5 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) )
11		opexg 4183	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. S ) -> <. C , A >. e. _V )
12	1, 3, 11	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> <. C , A >. e. _V )
13		frec0g 6334	. . . . . 6 |- ( <. C , A >. e. _V -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. ) ` (/) ) = <. C , A >. )
15	10, 14	syl5eq 2199	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. C , A >. )
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10287	. . . . . 6 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17		ffn 5312	. . . . . 6 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> R Fn om )
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn om )
19		peano1 4547	. . . . 5 |- (/) e. om
20		fnfvelrn 5592	. . . . 5 |- ( ( R Fn om /\ (/) e. om ) -> ( R ` (/) ) e. ran R )
21	18, 19, 20	sylancl 410	. . . 4 |- ( ph -> ( R ` (/) ) e. ran R )
22	15, 21	eqeltrrd 2232	. . 3 |- ( ph -> <. C , A >. e. ran R )
23	22, 6	eleqtrrd 2234	. 2 |- ( ph -> <. C , A >. e. T )
24		funopfv 5501	. 2 |- ( Fun T -> ( <. C , A >. e. T -> ( T ` C ) = A ) )
25	9, 23, 24	sylc 62	1 |- ( ph -> ( T ` C ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   _Vcvv 2709   (/)c0 3390   <.cop 3559   |-> cmpt 4021   omcom 4543   X. cxp 4577   ran crn 4580   Fun wfun 5157   Fn wfn 5158   -->wf 5159   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   e. cmpo 5816  freccfrec 6327   1c1 7712   + caddc 7714   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419

This theorem is referenced by: (None)