ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0 Unicode version

Theorem frecuzrdg0 10415
Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10401 for the description of  G as the mapping from  om to  ( ZZ>= `  C
). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frecuzrdgrrn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrrn.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrrn.2  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdgtcl.3  |-  ( ph  ->  T  =  ran  R
)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0  |-  ( ph  ->  ( T `  C
)  =  A )
Distinct variable groups:    y, A    x, C, y    y, G    x, F, y    x, S, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x, y)    T( x, y)    G( x)

Proof of Theorem frecuzrdg0
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uz.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
6 frecuzrdgtcl.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =  ran  R
)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtcl 10414 . . 3  |-  ( ph  ->  T : ( ZZ>= `  C ) --> S )
8 ffun 5370 . . 3  |-  ( T : ( ZZ>= `  C
) --> S  ->  Fun  T )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  T )
105fveq1i 5518 . . . . 5  |-  ( R `
 (/) )  =  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. ) `  (/) )
11 opexg 4230 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  -> 
<. C ,  A >.  e. 
_V )
121, 3, 11syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e. 
_V )
13 frec0g 6400 . . . . . 6  |-  ( <. C ,  A >.  e. 
_V  ->  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  S  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) ,  <. C ,  A >. ) `  (/) )  = 
<. C ,  A >. )
1412, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C
) ,  y  e.  S  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. ) `  (/) )  = 
<. C ,  A >. )
1510, 14eqtrid 2222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  = 
<. C ,  A >. )
161, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 10412 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
17 ffn 5367 . . . . . 6  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  R  Fn  om )
1816, 17syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  om )
19 peano1 4595 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
20 fnfvelrn 5650 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( R `  (/) )  e. 
ran  R )
2118, 19, 20sylancl 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  e. 
ran  R )
2215, 21eqeltrrd 2255 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e. 
ran  R )
2322, 6eleqtrrd 2257 . 2  |-  ( ph  -> 
<. C ,  A >.  e.  T )
24 funopfv 5557 . 2  |-  ( Fun 
T  ->  ( <. C ,  A >.  e.  T  ->  ( T `  C
)  =  A ) )
259, 23, 24sylc 62 1  |-  ( ph  ->  ( T `  C
)  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2739   (/)c0 3424   <.cop 3597    |-> cmpt 4066   omcom 4591    X. cxp 4626   ran crn 4629   Fun wfun 5212    Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877    e. cmpo 5879  freccfrec 6393   1c1 7814    + caddc 7816   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator