Theorem frecuzrdg0 10416

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10402 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ_≥‘𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6		frecuzrdgtcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ran 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtcl 10415	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)
8		ffun 5370	. . 3 ⊢ (𝑇:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑇)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
10	5	fveq1i 5518	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11		opexg 4230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13		frec0g 6401	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
15	10, 14	eqtrid 2222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17		ffn 5367	. . . . . 6 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
19		peano1 4595	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
20		fnfvelrn 5651	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
22	15, 21	eqeltrrd 2255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
23	22, 6	eleqtrrd 2257	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇)
24		funopfv 5558	. 2 ⊢ (Fun 𝑇 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴))
25	9, 23, 24	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ∅c0 3424  ⟨cop 3597   ↦ cmpt 4066  ωcom 4591   × cxp 4626  ran crn 4629  Fun wfun 5212   Fn wfn 5213  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878   ∈ cmpo 5880  freccfrec 6394  1c1 7815   + caddc 7817  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532

This theorem is referenced by: (None)