Theorem frecuzrdg0 10484

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10470 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ_≥‘𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2	⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 = ran 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdg0	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
2		frec2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3		frecuzrdgrrn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		frecuzrdgrrn.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5		frecuzrdgrrn.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6		frecuzrdgtcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ran 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frecuzrdgtcl 10483	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆)
8		ffun 5406	. . 3 ⊢ (𝑇:(ℤ≥‘𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑇)
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
10	5	fveq1i 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11		opexg 4257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13		frec0g 6450	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐶), 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
15	10, 14	eqtrid 2238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
16	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrcl 10481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆))
17		ffn 5403	. . . . . 6 ⊢ (𝑅:ω⟶((ℤ≥‘𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn ω)
19		peano1 4626	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
20		fnfvelrn 5690	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
21	18, 19, 20	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
22	15, 21	eqeltrrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
23	22, 6	eleqtrrd 2273	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇)
24		funopfv 5596	. 2 ⊢ (Fun 𝑇 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴))
25	9, 23, 24	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3446  ⟨cop 3621   ↦ cmpt 4090  ωcom 4622   × cxp 4657  ran crn 4660  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∈ cmpo 5920  freccfrec 6443  1c1 7873   + caddc 7875  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by: (None)