ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdg0 GIF version

Theorem frecuzrdg0 10369
Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10355 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgrrn.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrrn.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrrn.2 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgtcl.3 (𝜑𝑇 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdg0 (𝜑 → (𝑇𝐶) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frecuzrdg0
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frecuzrdgrrn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 frecuzrdgrrn.f . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrrn.2 . . . 4 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6 frecuzrdgtcl.3 . . . 4 (𝜑𝑇 = ran 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtcl 10368 . . 3 (𝜑𝑇:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
8 ffun 5350 . . 3 (𝑇:(ℤ𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑇)
97, 8syl 14 . 2 (𝜑 → Fun 𝑇)
105fveq1i 5497 . . . . 5 (𝑅‘∅) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅)
11 opexg 4213 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
121, 3, 11syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V)
13 frec0g 6376 . . . . . 6 (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
1510, 14eqtrid 2215 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
161, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrcl 10366 . . . . . 6 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
17 ffn 5347 . . . . . 6 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑅 Fn ω)
1816, 17syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn ω)
19 peano1 4578 . . . . 5 ∅ ∈ ω
20 fnfvelrn 5628 . . . . 5 ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2118, 19, 20sylancl 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
2215, 21eqeltrrd 2248 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅)
2322, 6eleqtrrd 2250 . 2 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇)
24 funopfv 5536 . 2 (Fun 𝑇 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑇 → (𝑇𝐶) = 𝐴))
259, 23, 24sylc 62 1 (𝜑 → (𝑇𝐶) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  c0 3414  cop 3586  cmpt 4050  ωcom 4574   × cxp 4609  ran crn 4612  Fun wfun 5192   Fn wfn 5193  wf 5194  cfv 5198  (class class class)co 5853  cmpo 5855  freccfrec 6369  1c1 7775   + caddc 7777  cz 9212  cuz 9487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator