Theorem fzsplit3 10407

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit3	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10378	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2		elfzelz 10378	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
3		peano2zm 9632	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
5		zlelttric 9639	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
6	1, 4, 5	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
7		elfzuz 10374	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
8		1zzd 9621	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. ZZ )
9	2, 8	zsubcld 9723	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
10		elfz5 10370	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
12		elfzuz3 10375	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
14		elfzuzb 10372	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( K ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
15	14	rbaib 929	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
17		eluz 9885	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
18	2, 1, 17	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
19		zlem1lt 9651	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
20	2, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
21	16, 18, 20	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> ( K - 1 ) < x ) )
22	11, 21	orbi12d 801	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) <-> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) ) )
23	6, 22	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
24		elfzuz 10374	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26		elfzuz3 10375	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27		elfzuz3 10375	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
29		peano2uz 9933	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
31	2	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. CC )
32		1cnd 8306	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. CC )
33	31, 32	npcand 8604	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
34	33	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
36	30, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
37		uztrn 9889	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
38	26, 36, 37	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
39		elfzuzb 10372	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
40	25, 38, 39	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
41		elfzuz 10374	. . . . . . 7 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
42		elfzuz 10374	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
43		uztrn 9889	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
45		elfzuz3 10375	. . . . . . 7 |- ( x e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
46	45	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
47	44, 46, 39	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
48	40, 47	jaodan 805	. . . 4 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
49	23, 48	impbida 600	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) )
50		elun 3364	. . 3 |- ( x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
51	49, 50	bitr4di 198	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) ) )
52	51	eqrdv 2232	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  ballotfilemgun  13212