Theorem fzsplit3 10460

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit3	|- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

Proof of Theorem fzsplit3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10430	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
2		elfzelz 10430	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
3		peano2zm 9684	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> ( K - 1 ) e. ZZ )
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
5		zlelttric 9691	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
6	1, 4, 5	syl2anr 290	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) )
7		elfzuz 10426	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
8		1zzd 9673	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. ZZ )
9	2, 8	zsubcld 9775	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( K - 1 ) e. ZZ )
10		elfz5 10422	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K - 1 ) e. ZZ ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) <-> x <_ ( K - 1 ) ) )
12		elfzuz3 10427	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
14		elfzuzb 10424	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( K ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
15	14	rbaib 933	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` x ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> x e. ( ZZ>= ` K ) ) )
17		eluz 9937	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
18	2, 1, 17	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ x ) )
19		zlem1lt 9703	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
20	2, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( K <_ x <-> ( K - 1 ) < x ) )
21	16, 18, 20	3bitrd 214	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( K ... N ) <-> ( K - 1 ) < x ) )
22	11, 21	orbi12d 805	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) <-> ( x <_ ( K - 1 ) \/ ( K - 1 ) < x ) ) )
23	6, 22	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
24		elfzuz 10426	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
25	24	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
26		elfzuz3 10427	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
27		elfzuz3 10427	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
29		peano2uz 9985	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) )
31	2	zcnd 9771	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. CC )
32		1cnd 8342	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ( M ... N ) -> 1 e. CC )
33	31, 32	npcand 8641	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
34	33	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
35	34	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( ( K - 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` x ) <-> K e. ( ZZ>= ` x ) ) )
36	30, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` x ) )
37		uztrn 9941	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
38	26, 36, 37	syl2an2r 603	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
39		elfzuzb 10424	. . . . . 6 |- ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` x ) ) )
40	25, 38, 39	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( M ... ( K - 1 ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
41		elfzuz 10426	. . . . . . 7 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
42		elfzuz 10426	. . . . . . 7 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
43		uztrn 9941	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
45		elfzuz3 10427	. . . . . . 7 |- ( x e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
46	45	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` x ) )
47	44, 46, 39	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ x e. ( K ... N ) ) -> x e. ( M ... N ) )
48	40, 47	jaodan 809	. . . 4 |- ( ( K e. ( M ... N ) /\ ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) -> x e. ( M ... N ) )
49	23, 48	impbida 604	. . 3 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) ) )
50		elun 3370	. . 3 |- ( x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) <-> ( x e. ( M ... ( K - 1 ) ) \/ x e. ( K ... N ) ) )
51	49, 50	bitr4di 198	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> x e. ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) ) )
52	51	eqrdv 2236	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) = ( ( M ... ( K - 1 ) ) u. ( K ... N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414

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