Theorem fzsplit3 10407

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10378	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		elfzelz 10378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		peano2zm 9632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
5		zlelttric 9639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
6	1, 4, 5	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥))
7		elfzuz 10374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		1zzd 9621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℤ)
9	2, 8	zsubcld 9723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
10		elfz5 10370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
11	7, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ↔ 𝑥 ≤ (𝐾 − 1)))
12		elfzuz3 10375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
13	12	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
14		elfzuzb 10372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
15	14	rbaib 929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
16	13, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
17		eluz 9885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥))
18	2, 1, 17	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑥))
19		zlem1lt 9651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
20	2, 1, 19	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑥 ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
21	16, 18, 20	3bitrd 214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 − 1) < 𝑥))
22	11, 21	orbi12d 801	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ≤ (𝐾 − 1) ∨ (𝐾 − 1) < 𝑥)))
23	6, 22	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
24		elfzuz 10374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		elfzuz3 10375	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		elfzuz3 10375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
28	27	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
29		peano2uz 9933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
31	2	zcnd 9719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
32		1cnd 8306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
33	31, 32	npcand 8604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
34	33	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
35	34	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
36	30, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
37		uztrn 9889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
38	26, 36, 37	syl2an2r 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
39		elfzuzb 10372	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
40	25, 38, 39	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
41		elfzuz 10374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
42		elfzuz 10374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43		uztrn 9889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
44	41, 42, 43	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
45		elfzuz3 10375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
46	45	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
47	44, 46, 39	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
48	40, 47	jaodan 805	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
49	23, 48	impbida 600	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁))))
50		elun 3364	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) ∨ 𝑥 ∈ (𝐾...𝑁)))
51	49, 50	bitr4di 198	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁))))
52	51	eqrdv 2232	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝐾 − 1)) ∪ (𝐾...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  ballotfilemgun  13212