Theorem gzsumgsum1 14243

Description: On an integer range starting at one, gzsum_gz and gsum_g agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumgsum1.b	|- B = ( Base ` G )
gzsumgsum1.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gzsumgsum1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
gzsumgsum1.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gzsumgsum1	|- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( G gsumg F ) )

Proof of Theorem gzsumgsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumgsum1.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gzsumgsum1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
3		gzsumgsum1.f	. . 3 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> B )
4		1zzd 9682	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		gzsumgsum1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	5	nn0zd 9777	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
7	4, 6	fzfigd 10889	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
8		f1oi 5682	. . . 4 |- ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N )
9		hashfz1 11244	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> (♯ ` ( 1 ... N ) ) = N )
11	10	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) = ( 1 ... N ) )
12	11	f1oeq2d 5638	. . . 4 |- ( ph -> ( ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) <-> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) ) )
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( _I |` ( 1 ... N ) ) : ( 1 ... (♯ ` ( 1 ... N ) ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
14	1, 2, 3, 7, 13	gsumvalfi 14242	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gzsumgz ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
15		fcoi1 5575	. . . 4 |- ( F : ( 1 ... N ) --> B -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
16	3, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) = F )
17	16	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( F o. ( _I |` ( 1 ... N ) ) ) ) = ( G gzsumgz F ) )
18	14, 17	eqtr2d 2272	1 |- ( ph -> ( G gzsumgz F ) = ( G gsumg F ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _I cid 4435   |` cres 4778   o. ccom 4780   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1c1 8186   NN0cn0 9574   ...cfz 10428  ♯chash 11236   Basecbs 13410   gzsum_gz cgzsu 13670  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsum0cmn  14244