Theorem gzsumgsum1 14130

Description: On an integer range starting at one, Σ_gz and Σ_g agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumgsum1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumgsum1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gzsumgsum1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gzsumgsum1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumgsum1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gzsumgsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumgsum1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gzsumgsum1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		gzsumgsum1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
4		1zzd 9650	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		gzsumgsum1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
8		f1oi 5674	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)
9		hashfz1 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
11	10	oveq2d 6091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(1...𝑁))) = (1...𝑁))
12	11	f1oeq2d 5630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁) ↔ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)))
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁))
14	1, 2, 3, 7, 13	gsumvalfi 14129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))))
15		fcoi1 5567	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
16	3, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
17	16	oveq2d 6091	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))) = (𝐺 Σgz 𝐹))
18	14, 17	eqtr2d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   I cid 4428   ↾ cres 4771   ∘ ccom 4773  ⟶wf 5368  –1-1-onto→wf1o 5371  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  1c1 8170  ℕ₀cn0 9542  ...cfz 10390  ♯chash 11192  Basecbs 13330   Σ_gz cgzsu 13588  CMndccmn 14064   Σ_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  gsum0cmn  14131