Theorem gzsumgsum1 14153

Description: On an integer range starting at one, Σ_gz and Σ_g agree. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumgsum1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumgsum1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gzsumgsum1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gzsumgsum1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumgsum1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gzsumgsum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumgsum1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gzsumgsum1.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		gzsumgsum1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵)
4		1zzd 9671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5		gzsumgsum1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 9766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	4, 6	fzfigd 10868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
8		f1oi 5679	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)
9		hashfz1 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
10	5, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
11	10	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(♯‘(1...𝑁))) = (1...𝑁))
12	11	f1oeq2d 5635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁) ↔ ( I ↾ (1...𝑁)):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑁)))
13	8, 12	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (1...𝑁)):(1...(♯‘(1...𝑁)))–1-1-onto→(1...𝑁))
14	1, 2, 3, 7, 13	gsumvalfi 14152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))))
15		fcoi1 5572	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶𝐵 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
16	3, 15	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁))) = 𝐹)
17	16	oveq2d 6101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝐹 ∘ ( I ↾ (1...𝑁)))) = (𝐺 Σgz 𝐹))
18	14, 17	eqtr2d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   I cid 4433   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8180  ℕ₀cn0 9563  ...cfz 10411  ♯chash 11214  Basecbs 13352   Σ_gz cgzsu 13611  CMndccmn 14087   Σ_g cgsu 14150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-cmn 14089  df-gsumfi 14151

This theorem is used by:  gsum0cmn  14154