Theorem gzsumsnfd 14147

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumsnd.b	|- B = ( Base ` G )
gzsumsnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gzsumsnd.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
gzsumsnd.c	|- ( ph -> C e. B )
gzsumsnd.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
gzsumsnfd.p	|- F/ k ph
gzsumsnfd.c	|- F/_ k C

Assertion

Ref	Expression
gzsumsnfd	|- ( ph -> ( G gzsumgz ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable group:   k, M

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   B( k)   C( k)   G( k)

Proof of Theorem gzsumsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumsnfd.p	. . . . 5 |- F/ k ph
2		elsni 3727	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> k = M )
3		gzsumsnd.s	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> A = C )
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { M } ) -> A = C )
5	1, 4	mpteq2da 4220	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> C ) )
6	5	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gzsumgz ( k e. { M } |-> C ) ) )
7		gzsumsnd.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
8		fzsn 10472	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
10	9	mpteq1d 4216	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> C ) = ( k e. { M } |-> C ) )
11	10	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( G gzsumgz ( k e. { M } |-> C ) ) )
12		gzsumsnd.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
13	7	uzidd 9937	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
14		gzsumsnd.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. B )
15		gzsumsnfd.c	. . . . 5 |- F/_ k C
16		gzsumsnd.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
17		eqid 2238	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
18	15, 16, 17	gzsumconstf 14144	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ( ZZ>= ` M ) /\ C e. B ) -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( k e. ( M ... M ) |-> C ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2277	. 2 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( k e. { M } |-> A ) ) = ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) )
21	7	zcnd 9769	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
22	21	subidd 8625	. . . . 5 |- ( ph -> ( M - M ) = 0 )
23	22	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
24		0p1e1 9418	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> ( ( M - M ) + 1 ) = 1 )
26	25	oveq1d 6100	. 2 |- ( ph -> ( ( ( M - M ) + 1 ) (.g ` G ) C ) = ( 1 (.g ` G ) C ) )
27	16, 17	mulg1 13932	. . 3 |- ( C e. B -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
28	14, 27	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( 1 (.g ` G ) C ) = C )
29	20, 26, 28	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( G gzsumgz ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   F/wnf 1513   e. wcel 2209   F/_wnfc 2379   {csn 3709   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   Basecbs 13352   gzsum_gz cgzsu 13611   Mndcmnd 13729  ._gcmg 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-minusg 13809  df-mulg 13923

This theorem is used by:  gzsumsplit0  14148  gsumsncmn  14156