Theorem gzsumsnfd 14231

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gzsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gzsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gzsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gzsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gzsumsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gzsumsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 3727	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gzsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 4220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gzsumsnd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 10483	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	mpteq1d 4216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
11	10	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
12		gzsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	7	uzidd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		gzsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
15		gzsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
16		gzsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18	15, 16, 17	gzsumconstf 14228	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
21	7	zcnd 9774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	subidd 8627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
23	22	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = (0 + 1))
24		0p1e1 9421	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = 1)
26	25	oveq1d 6100	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
27	16, 17	mulg1 13985	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
28	14, 27	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
29	20, 26, 28	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  Ⅎwnfc 2379  {csn 3709   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   − cmin 8499  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422  Basecbs 13404   Σ_gz cgzsu 13664  Mndcmnd 13782  ._gcmg 13975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-seqfrec 10900  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-0g 13665  df-gzsum 13666  df-minusg 13862  df-mulg 13976

This theorem is used by:  gzsumsplit0  14232  gsumsncmn  14240