Theorem gzsumsnfd 14124

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gzsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gzsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gzsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gzsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gzsumsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gzsumsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 3723	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gzsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 4215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gzsumsnd.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzsn 10450	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
10	9	mpteq1d 4211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
11	10	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
12		gzsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
13	7	uzidd 9916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		gzsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
15		gzsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
16		gzsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
18	15, 16, 17	gzsumconstf 14121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
19	12, 13, 14, 18	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) ↦ 𝐶)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
20	6, 11, 19	3eqtr2d 2277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶))
21	7	zcnd 9748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	subidd 8615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 𝑀) = 0)
23	22	oveq1d 6090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = (0 + 1))
24		0p1e1 9397	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 𝑀) + 1) = 1)
26	25	oveq1d 6090	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 − 𝑀) + 1)(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
27	16, 17	mulg1 13909	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
28	14, 27	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
29	20, 26, 28	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  Ⅎwnfc 2379  {csn 3705   ↦ cmpt 4187  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  Basecbs 13330   Σ_gz cgzsu 13588  Mndcmnd 13706  ._gcmg 13899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-minusg 13786  df-mulg 13900

This theorem is referenced by:  gzsumsplit0  14125  gsumsncmn  14133