Theorem gsumsncmn 14246

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsncmn.b	|- B = ( Base ` G )
gsumsncmn.s	|- ( k = M -> A = C )

Assertion

Ref	Expression
gsumsncmn	|- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable groups:   B, k   C, k   k, G   k, M   k, V

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem gsumsncmn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsncmn.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		simp1 1028	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> G e. CMnd )
3		elsni 3727	. . . . . . 7 |- ( k e. { M } -> k = M )
4		gsumsncmn.s	. . . . . . 7 |- ( k = M -> A = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> A = C )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> A = C )
7		simpl3 1033	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> C e. B )
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> A e. B )
9	8	fmpttd 5866	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( k e. { M } |-> A ) : { M } --> B )
10		snfig 7107	. . . 4 |- ( M e. V -> { M } e. Fin )
11	10	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { M } e. Fin )
12		1z 9681	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
13		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> M e. V )
14		f1osng 5685	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	12, 13, 14	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
16		fmptsn 5907	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } = ( x e. { 1 } |-> M ) )
17	12, 13, 16	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { <. 1 , M >. } = ( x e. { 1 } |-> M ) )
18	17	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> M ) = { <. 1 , M >. } )
19		hashsng 11259	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> (♯ ` { M } ) = 1 )
20	19	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = ( 1 ... 1 ) )
21		fzsn 10489	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
23	20, 22	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( M e. V -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = { 1 } )
24	23	3ad2ant2 1050	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = { 1 } )
25		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { M } = { M } )
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5636	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( x e. { 1 } |-> M ) : ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> M ) : ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) -1-1-onto-> { M } )
28	1, 2, 9, 11, 27	gsumvalfi 14242	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gzsumgz ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) ) )
29		snidg 3738	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> M e. { M } )
30	29	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> M e. { M } )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ x e. { 1 } ) -> M e. { M } )
32	9, 31	cofmpt 5880	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) = ( x e. { 1 } |-> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) ) )
33		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> A )
34		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> C e. B )
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5802	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) = C )
36	35	mpteq2dv 4224	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) ) = ( x e. { 1 } |-> C ) )
37	32, 36	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) = ( x e. { 1 } |-> C ) )
38	37	oveq2d 6104	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gzsumgz ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) ) = ( G gzsumgz ( x e. { 1 } |-> C ) ) )
39	2	cmnmndd 14201	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> G e. Mnd )
40		1zzd 9682	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> 1 e. ZZ )
41		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ x = 1 ) -> C = C )
42		nfv 1581	. . 3 |- F/ x ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B )
43		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ x C
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gzsumsnfd 14237	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gzsumgz ( x e. { 1 } |-> C ) ) = C )
45	28, 38, 44	3eqtrd 2275	1 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   <.cop 3712   |-> cmpt 4193   o. ccom 4780   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   1c1 8186   ZZcz 9655   ...cfz 10428  ♯chash 11236   Basecbs 13410   gzsum_gz cgzsu 13670  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  psrlidmfi  15199  psrridmfi  15200