Theorem gsumsncmn 14139

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsncmn.b	|- B = ( Base ` G )
gsumsncmn.s	|- ( k = M -> A = C )

Assertion

Ref	Expression
gsumsncmn	|- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

Distinct variable groups:   B, k   C, k   k, G   k, M   k, V

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem gsumsncmn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsncmn.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		simp1 1028	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> G e. CMnd )
3		elsni 3726	. . . . . . 7 |- ( k e. { M } -> k = M )
4		gsumsncmn.s	. . . . . . 7 |- ( k = M -> A = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( k e. { M } -> A = C )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> A = C )
7		simpl3 1033	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> C e. B )
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ k e. { M } ) -> A e. B )
9	8	fmpttd 5857	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( k e. { M } |-> A ) : { M } --> B )
10		snfig 7097	. . . 4 |- ( M e. V -> { M } e. Fin )
11	10	3ad2ant2 1050	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { M } e. Fin )
12		1z 9653	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
13		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> M e. V )
14		f1osng 5680	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
15	12, 13, 14	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
16		fmptsn 5898	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ M e. V ) -> { <. 1 , M >. } = ( x e. { 1 } |-> M ) )
17	12, 13, 16	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { <. 1 , M >. } = ( x e. { 1 } |-> M ) )
18	17	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> M ) = { <. 1 , M >. } )
19		hashsng 11220	. . . . . . . 8 |- ( M e. V -> (♯ ` { M } ) = 1 )
20	19	oveq2d 6095	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = ( 1 ... 1 ) )
21		fzsn 10455	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
22	12, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
23	20, 22	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( M e. V -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = { 1 } )
24	23	3ad2ant2 1050	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) = { 1 } )
25		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> { M } = { M } )
26	18, 24, 25	f1oeq123d 5631	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( x e. { 1 } |-> M ) : ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) -1-1-onto-> { M } <-> { <. 1 , M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } ) )
27	15, 26	mpbird 167	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> M ) : ( 1 ... (♯ ` { M } ) ) -1-1-onto-> { M } )
28	1, 2, 9, 11, 27	gsumvalfi 14135	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = ( G gzsumgz ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) ) )
29		snidg 3737	. . . . . . 7 |- ( M e. V -> M e. { M } )
30	29	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> M e. { M } )
31	30	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ x e. { 1 } ) -> M e. { M } )
32	9, 31	cofmpt 5871	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) = ( x e. { 1 } |-> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) ) )
33		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( k e. { M } |-> A ) = ( k e. { M } |-> A )
34		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> C e. B )
35	33, 4, 30, 34	fvmptd3 5796	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) = C )
36	35	mpteq2dv 4220	. . . 4 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( x e. { 1 } |-> ( ( k e. { M } |-> A ) ` M ) ) = ( x e. { 1 } |-> C ) )
37	32, 36	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) = ( x e. { 1 } |-> C ) )
38	37	oveq2d 6095	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gzsumgz ( ( k e. { M } |-> A ) o. ( x e. { 1 } |-> M ) ) ) = ( G gzsumgz ( x e. { 1 } |-> C ) ) )
39	2	cmnmndd 14094	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> G e. Mnd )
40		1zzd 9654	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> 1 e. ZZ )
41		eqidd 2239	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) /\ x = 1 ) -> C = C )
42		nfv 1581	. . 3 |- F/ x ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B )
43		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ x C
44	1, 39, 40, 34, 41, 42, 43	gzsumsnfd 14130	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gzsumgz ( x e. { 1 } |-> C ) ) = C )
45	28, 38, 44	3eqtrd 2275	1 |- ( ( G e. CMnd /\ M e. V /\ C e. B ) -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> A ) ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3708   <.cop 3711   |-> cmpt 4190   o. ccom 4776   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   1c1 8174   ZZcz 9627   ...cfz 10394  ♯chash 11197   Basecbs 13335   gzsum_gz cgzsu 13594  CMndccmn 14070   gsum_g cgsu 14133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-ihash 11198  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-0g 13595  df-gzsum 13596  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-minusg 13792  df-mulg 13906  df-cmn 14072  df-gsumfi 14134

This theorem is used by: (None)