Theorem trlsfvalg 16237

Description: The set of trails (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Dec-2020.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlsfvalg	|- ( G e. V -> (Trails ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )

Distinct variable group:   f, G, p

Allowed substitution hints:   V( f, p)

Proof of Theorem trlsfvalg

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trls 16235	. 2 |- Trails = ( g e. _V |-> { <. f , p >. | ( f (Walks ` g ) p /\ Fun `' f ) } )
2		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( g = G -> (Walks ` g ) = (Walks ` G ) )
3	2	breqd 4099	. . . 4 |- ( g = G -> ( f (Walks ` g ) p <-> f (Walks ` G ) p ) )
4	3	anbi1d 465	. . 3 |- ( g = G -> ( ( f (Walks ` g ) p /\ Fun `' f ) <-> ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) ) )
5	4	opabbidv 4155	. 2 |- ( g = G -> { <. f , p >. | ( f (Walks ` g ) p /\ Fun `' f ) } = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )
6		elex 2814	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
7		wlkex 16179	. . 3 |- ( G e. V -> (Walks ` G ) e. _V )
8		elopabran 4378	. . . . 5 |- ( z e. { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } -> z e. (Walks ` G ) )
9	8	ssriv 3231	. . . 4 |- { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } C_ (Walks ` G )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } C_ (Walks ` G ) )
11	7, 10	ssexd 4229	. 2 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } e. _V )
12	1, 5, 6, 11	fvmptd3 5740	1 |- ( G e. V -> (Trails ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   {copab 4149   `'ccnv 4724   Fun wfun 5320   ` cfv 5326  Walkscwlks 16171  Trailsctrls 16234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-wlks 16172  df-trls 16235

This theorem is referenced by:  trlsv  16238  istrl  16239  trlsex  16241