Theorem trlsfvalg 16153

Description: The set of trails (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Dec-2020.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
trlsfvalg	|- ( G e. V -> (Trails ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )

Distinct variable group:   f, G, p

Allowed substitution hints:   V( f, p)

Proof of Theorem trlsfvalg

Dummy variables g z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trls 16151	. 2 |- Trails = ( g e. _V |-> { <. f , p >. | ( f (Walks ` g ) p /\ Fun `' f ) } )
2		fveq2 5632	. . . . 5 |- ( g = G -> (Walks ` g ) = (Walks ` G ) )
3	2	breqd 4094	. . . 4 |- ( g = G -> ( f (Walks ` g ) p <-> f (Walks ` G ) p ) )
4	3	anbi1d 465	. . 3 |- ( g = G -> ( ( f (Walks ` g ) p /\ Fun `' f ) <-> ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) ) )
5	4	opabbidv 4150	. 2 |- ( g = G -> { <. f , p >. | ( f (Walks ` g ) p /\ Fun `' f ) } = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )
6		elex 2811	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
7		wlkex 16097	. . 3 |- ( G e. V -> (Walks ` G ) e. _V )
8		elopabran 4373	. . . . 5 |- ( z e. { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } -> z e. (Walks ` G ) )
9	8	ssriv 3228	. . . 4 |- { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } C_ (Walks ` G )
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } C_ (Walks ` G ) )
11	7, 10	ssexd 4224	. 2 |- ( G e. V -> { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } e. _V )
12	1, 5, 6, 11	fvmptd3 5733	1 |- ( G e. V -> (Trails ` G ) = { <. f , p >. | ( f (Walks ` G ) p /\ Fun `' f ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   {copab 4144   `'ccnv 4719   Fun wfun 5315   ` cfv 5321  Walkscwlks 16089  Trailsctrls 16150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-ihash 11015  df-word 11090  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-wlks 16090  df-trls 16151

This theorem is referenced by:  trlsv  16154  istrl  16155