Theorem istrl 16429

Description: Conditions for a pair of classes/functions to be a trail (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Dec-2020.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
istrl	⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))

Proof of Theorem istrl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsv 16428	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		wlkv 16370	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		df-br 4112	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Trails‘𝐺))
5		trlsfvalg 16427	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
6	5	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
7	6	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Trails‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}))
8	4, 7	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}))
9		breq1 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑝))
10		cnveq 4931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
11	10	funeqd 5376	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (Fun ◡𝑓 ↔ Fun ◡𝐹))
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝐹)))
13		breq2 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
14	13	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
15	12, 14	opelopabg 4388	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
16	15	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
17	8, 16	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
18	1, 3, 17	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  {copab 4172  ^◡ccnv 4750  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354  Walkscwlks 16361  Trailsctrls 16424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-ihash 11147  df-word 11233  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-edgf 16049  df-vtx 16058  df-iedg 16059  df-wlks 16362  df-trls 16425

This theorem is referenced by:  trliswlk  16430  trlf1  16432  trlres  16434  iseupthf1o  16492