Theorem istrl 16638

Description: Conditions for a pair of classes/functions to be a trail (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Dec-2020.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
istrl	⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))

Proof of Theorem istrl

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsv 16637	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		wlkv 16579	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		df-br 4131	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Trails‘𝐺))
5		trlsfvalg 16636	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
6	5	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
7	6	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Trails‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}))
8	4, 7	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}))
9		breq1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑝))
10		cnveq 4954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ◡𝑓 = ◡𝐹)
11	10	funeqd 5399	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (Fun ◡𝑓 ↔ Fun ◡𝐹))
12	9, 11	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝐹)))
13		breq2 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
14	13	anbi1d 469	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
15	12, 14	opelopabg 4410	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
16	15	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)} ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
17	8, 16	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)))
18	1, 3, 17	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  {copab 4191  ^◡ccnv 4773  Fun wfun 5371  ‘cfv 5377  Walkscwlks 16570  Trailsctrls 16633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-ihash 11217  df-word 11307  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-wlks 16571  df-trls 16634

This theorem is used by:  trliswlk  16639  trlf1  16641  trlres  16643  iseupthf1o  16701