Theorem hashiun 11240

Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumiun.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiun.3	|- ( ph -> Disj x e. A B )

Assertion

Ref	Expression
hashiun	|- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A B ) = sum_ x e. A (♯ ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem hashiun

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumiun.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumiun.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
3		fsumiun.3	. . 3 |- ( ph -> Disj x e. A B )
4		1cnd 7775	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> 1 e. CC )
5	1, 2, 3, 4	fsumiun 11239	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = sum_ x e. A sum_ k e. B 1 )
6	2	ralrimiva 2503	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
7		iunfidisj 6827	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
8	1, 6, 3, 7	syl3anc 1216	. . . 4 |- ( ph -> U_ x e. A B e. Fin )
9		ax-1cn 7706	. . . 4 |- 1 e. CC
10		fsumconst 11216	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) )
11	8, 9, 10	sylancl 409	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) )
12		hashcl 10520	. . . 4 |- ( U_ x e. A B e. Fin -> (♯ ` U_ x e. A B ) e. NN0 )
13		nn0cn 8980	. . . 4 |- ( (♯ ` U_ x e. A B ) e. NN0 -> (♯ ` U_ x e. A B ) e. CC )
14		mulid1 7756	. . . 4 |- ( (♯ ` U_ x e. A B ) e. CC -> ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) = (♯ ` U_ x e. A B ) )
15	8, 12, 13, 14	4syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) = (♯ ` U_ x e. A B ) )
16	11, 15	eqtrd 2170	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = (♯ ` U_ x e. A B ) )
17		fsumconst 11216	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
18	2, 9, 17	sylancl 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
19		hashcl 10520	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
20		nn0cn 8980	. . . . 5 |- ( (♯ ` B ) e. NN0 -> (♯ ` B ) e. CC )
21		mulid1 7756	. . . . 5 |- ( (♯ ` B ) e. CC -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = (♯ ` B ) )
22	2, 19, 20, 21	4syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = (♯ ` B ) )
23	18, 22	eqtrd 2170	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B 1 = (♯ ` B ) )
24	23	sumeq2dv 11130	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ k e. B 1 = sum_ x e. A (♯ ` B ) )
25	5, 16, 24	3eqtr3d 2178	1 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A B ) = sum_ x e. A (♯ ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   U_ciun 3808  Disj wdisj 3901   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   Fincfn 6627   CCcc 7611   1c1 7614   x. cmul 7618   NN0cn0 8970  ♯chash 10514   sum_csu 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116

This theorem is referenced by:  hash2iun  11241  hashrabrex  11243  hashuni  11244