ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashiun Unicode version

Theorem hashiun 11434
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
Assertion
Ref Expression
hashiun  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  B )  = 
sum_ x  e.  A  ( `  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumiun.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
3 fsumiun.3 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
4 1cnd 7929 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
51, 2, 3, 4fsumiun 11433 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1 )
62ralrimiva 2543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
7 iunfidisj 6921 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin  /\ Disj  x  e.  A  B )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
81, 6, 3, 7syl3anc 1233 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
9 ax-1cn 7860 . . . 4  |-  1  e.  CC
10 fsumconst 11410 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B 1  =  ( ( `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
118, 9, 10sylancl 411 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( ( `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
12 hashcl 10708 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  ( `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
13 nn0cn 9138 . . . 4  |-  ( ( `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0  ->  ( `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC )
14 mulid1 7910 . . . 4  |-  ( ( `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC  ->  ( ( `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( `  U_ x  e.  A  B ) )
158, 12, 13, 144syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( `  U_ x  e.  A  B ) )
1611, 15eqtrd 2203 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( `  U_ x  e.  A  B )
)
17 fsumconst 11410 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  B 
1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
182, 9, 17sylancl 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( ( `  B )  x.  1 ) )
19 hashcl 10708 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( `  B )  e.  NN0 )
20 nn0cn 9138 . . . . 5  |-  ( ( `  B )  e.  NN0  ->  ( `  B )  e.  CC )
21 mulid1 7910 . . . . 5  |-  ( ( `  B )  e.  CC  ->  ( ( `  B
)  x.  1 )  =  ( `  B
) )
222, 19, 20, 214syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( `  B )  x.  1 )  =  ( `  B ) )
2318, 22eqtrd 2203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( `  B ) )
2423sumeq2dv 11324 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( `  B ) )
255, 16, 243eqtr3d 2211 1  |-  ( ph  ->  ( `  U_ x  e.  A  B )  = 
sum_ x  e.  A  ( `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   U_ciun 3871  Disj wdisj 3964   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   Fincfn 6716   CCcc 7765   1c1 7768    x. cmul 7772   NN0cn0 9128  ♯chash 10702   sum_csu 11309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-ihash 10703  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310
This theorem is referenced by:  hash2iun  11435  hashrabrex  11437  hashuni  11438  phisum  12187
  Copyright terms: Public domain W3C validator