Theorem hashiun 11419

Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumiun.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
fsumiun.3	|- ( ph -> Disj x e. A B )

Assertion

Ref	Expression
hashiun	|- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A B ) = sum_ x e. A (♯ ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem hashiun

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumiun.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
2		fsumiun.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. Fin )
3		fsumiun.3	. . 3 |- ( ph -> Disj x e. A B )
4		1cnd 7915	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> 1 e. CC )
5	1, 2, 3, 4	fsumiun 11418	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = sum_ x e. A sum_ k e. B 1 )
6	2	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. A B e. Fin )
7		iunfidisj 6911	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A B e. Fin /\ Disj x e. A B ) -> U_ x e. A B e. Fin )
8	1, 6, 3, 7	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> U_ x e. A B e. Fin )
9		ax-1cn 7846	. . . 4 |- 1 e. CC
10		fsumconst 11395	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) )
11	8, 9, 10	sylancl 410	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) )
12		hashcl 10694	. . . 4 |- ( U_ x e. A B e. Fin -> (♯ ` U_ x e. A B ) e. NN0 )
13		nn0cn 9124	. . . 4 |- ( (♯ ` U_ x e. A B ) e. NN0 -> (♯ ` U_ x e. A B ) e. CC )
14		mulid1 7896	. . . 4 |- ( (♯ ` U_ x e. A B ) e. CC -> ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) = (♯ ` U_ x e. A B ) )
15	8, 12, 13, 14	4syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( (♯ ` U_ x e. A B ) x. 1 ) = (♯ ` U_ x e. A B ) )
16	11, 15	eqtrd 2198	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A B 1 = (♯ ` U_ x e. A B ) )
17		fsumconst 11395	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
18	2, 9, 17	sylancl 410	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B 1 = ( (♯ ` B ) x. 1 ) )
19		hashcl 10694	. . . . 5 |- ( B e. Fin -> (♯ ` B ) e. NN0 )
20		nn0cn 9124	. . . . 5 |- ( (♯ ` B ) e. NN0 -> (♯ ` B ) e. CC )
21		mulid1 7896	. . . . 5 |- ( (♯ ` B ) e. CC -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = (♯ ` B ) )
22	2, 19, 20, 21	4syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( (♯ ` B ) x. 1 ) = (♯ ` B ) )
23	18, 22	eqtrd 2198	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sum_ k e. B 1 = (♯ ` B ) )
24	23	sumeq2dv 11309	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. A sum_ k e. B 1 = sum_ x e. A (♯ ` B ) )
25	5, 16, 24	3eqtr3d 2206	1 |- ( ph -> (♯ ` U_ x e. A B ) = sum_ x e. A (♯ ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   U_ciun 3866  Disj wdisj 3959   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   Fincfn 6706   CCcc 7751   1c1 7754   x. cmul 7758   NN0cn0 9114  ♯chash 10688   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  hash2iun  11420  hashrabrex  11422  hashuni  11423  phisum  12172