ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt0neg1d GIF version

Theorem lt0neg1d 8462
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lt0neg1d (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt0neg1 8415 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
31, 2syl 14 1 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7801  0cc0 7802   < clt 7982  -cneg 8119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-ltxr 7987  df-sub 8120  df-neg 8121
This theorem is referenced by:  reapmul1  8542  recgt0  8796  prodgt0  8798  prodge0  8800  elnn0z  9255  ztri3or0  9284  exp3val  10508  expnegap0  10514  resqrexlemgt0  11013  climge0  11317  zdvdsdc  11803  divalglemex  11910  divalglemeuneg  11911  mulgval  12875  mulgfng  12876  sincosq4sgn  13917  sinq34lt0t  13919  coseq0negpitopi  13924  lgsdilem  14095
  Copyright terms: Public domain W3C validator