Theorem ltmul12a 9133

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem ltmul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 535	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpllr 536	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
7		ltle 8360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
8	7	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	adantrl 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
11		lemul1a 9131	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
12	1, 2, 6, 10, 11	syl31anc 1277	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
13		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		0re 8273	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lelttr 8361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
18	16, 17	mp3an1 1361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
20	19	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
21		ltmul2 9129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
22	13, 14, 15, 20, 21	syl112anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
23	22	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
24	23	anasss 399	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
25	24	adantrrl 486	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
26		remulcl 8254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
27	26	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28		remulcl 8254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29	28	ad2ant2lr 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30		remulcl 8254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	30	ad2ant2l 508	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
32		lelttr 8361	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
34	33	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
35	12, 25, 34	mp2and 433	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
36	35	an4s 592	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℝcr 8125  0cc0 8126   · cmul 8131   < clt 8307   ≤ cle 8308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855

This theorem is referenced by:  ltmul12ad  9214