ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmul12a GIF version

Theorem ltmul12a 8817
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 533 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simpllr 534 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simpll 527 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 simprl 529 . . . . . 6 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)
53, 4jca 306 . . . . 5 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
65ad2ant2l 508 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ))
7 ltle 8045 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต))
87imp 124 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
98adantrl 478 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
109ad2ant2r 509 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
11 lemul1a 8815 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1241 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
13 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
14 simplrr 536 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
15 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
16 0re 7957 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
17 lelttr 8046 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1816, 17mp3an1 1324 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต))
1918imp 124 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
2019adantlr 477 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
21 ltmul2 8813 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1242 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†” (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
2322biimpa 296 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ๐ถ < ๐ท) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
2423anasss 399 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐ถ < ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
2524adantrrl 486 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
26 remulcl 7939 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2726ad2ant2r 509 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
28 remulcl 7939 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2928ad2ant2lr 510 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
30 remulcl 7939 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
3130ad2ant2l 508 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
32 lelttr 8046 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3433adantr 276 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โˆง (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)))
3512, 25, 34mp2and 433 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
3635an4s 588 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8898
  Copyright terms: Public domain W3C validator