Theorem ltmul12a 8881

Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul12a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem ltmul12a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 533	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpllr 534	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐶)
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
6	5	ad2ant2l 508	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
7		ltle 8109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
8	7	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	adantrl 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
11		lemul1a 8879	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
12	1, 2, 6, 10, 11	syl31anc 1252	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
13		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16		0re 8021	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		lelttr 8110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
18	16, 17	mp3an1 1335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
19	18	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
20	19	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 < 𝐵)
21		ltmul2 8877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
22	13, 14, 15, 20, 21	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐶 < 𝐷 ↔ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
23	22	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝐶 < 𝐷) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
24	23	anasss 399	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
25	24	adantrrl 486	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
26		remulcl 8002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
27	26	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28		remulcl 8002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
29	28	ad2ant2lr 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
30		remulcl 8002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	30	ad2ant2l 508	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
32		lelttr 8110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
34	33	adantr 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷)))
35	12, 25, 34	mp2and 433	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))
36	35	an4s 588	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   · cmul 7879   < clt 8056   ≤ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  ltmul12ad  8962