ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpri GIF version

Theorem ltnqpri 7606
Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpri (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝑢,𝐴   𝐵,𝑙   𝑢,𝐵

Proof of Theorem ltnqpri
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7377 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4690 . . . . . . 7 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
32simpld 112 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
4 nqprlu 7559 . . . . . 6 (𝐴Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
53, 4syl 14 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
62simprd 114 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵𝐵Q)
7 nqprlu 7559 . . . . . 6 (𝐵Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
86, 7syl 14 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
9 ltdfpr 7518 . . . . 5 ((⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩ ∈ P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
105, 8, 9syl2anc 411 . . . 4 (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩))))
11 vex 2752 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
12 breq2 4019 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑥 → (𝐴 <Q 𝑢𝐴 <Q 𝑥))
13 ltnqex 7561 . . . . . . . 8 {𝑙𝑙 <Q 𝐴} ∈ V
14 gtnqex 7562 . . . . . . . 8 {𝑢𝐴 <Q 𝑢} ∈ V
1513, 14op2nd 6161 . . . . . . 7 (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) = {𝑢𝐴 <Q 𝑢}
1611, 12, 15elab2 2897 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝐴 <Q 𝑥)
17 breq1 4018 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑥 → (𝑙 <Q 𝐵𝑥 <Q 𝐵))
18 ltnqex 7561 . . . . . . . 8 {𝑙𝑙 <Q 𝐵} ∈ V
19 gtnqex 7562 . . . . . . . 8 {𝑢𝐵 <Q 𝑢} ∈ V
2018, 19op1st 6160 . . . . . . 7 (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩) = {𝑙𝑙 <Q 𝐵}
2111, 17, 20elab2 2897 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩) ↔ 𝑥 <Q 𝐵)
2216, 21anbi12i 460 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2322rexbii 2494 . . . 4 (∃𝑥Q (𝑥 ∈ (2nd ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩) ∧ 𝑥 ∈ (1st ‘⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)) ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2410, 23bitrdi 196 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵)))
25 ltbtwnnqq 7427 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 <Q 𝑥𝑥 <Q 𝐵))
2624, 25bitr4di 198 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → (⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩ ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
2726ibir 177 1 (𝐴 <Q 𝐵 → ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐴}, {𝑢𝐴 <Q 𝑢}⟩<P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝐵}, {𝑢𝐵 <Q 𝑢}⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2158  {cab 2173  wrex 2466  cop 3607   class class class wbr 4015  cfv 5228  1st c1st 6152  2nd c2nd 6153  Qcnq 7292   <Q cltq 7297  Pcnp 7303  <P cltp 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-inp 7478  df-iltp 7482
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7695  caucvgprprlemloccalc  7696  caucvgprprlemnjltk  7703  caucvgprprlemlol  7710  caucvgprprlemupu  7712  suplocexprlemloc  7733
  Copyright terms: Public domain W3C validator