Theorem mod2eq1n2dvds 12061

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 9074	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
2		pm13.181 2449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
4	3	neneqd 2388	. . . 4 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6		mod2eq0even 12060	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
7	6	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
8	7	notnotd 631	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
9	5, 8	2falsed 703	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11		1ne0 9075	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
12		pm13.181 2449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
13	11, 12	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
14	13	neneqd 2388	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
16	6	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
19	10, 18	2thd 175	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20		2nn 9169	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		zmodfz 10455	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
22	20, 21	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23		2m1e1 9125	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
24	23	oveq2i 5936	. . . 4 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
25	22, 24	eleqtrdi 2289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26		fz01or 10203	. . 3 ⊢ ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
27	25, 26	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
28	9, 19, 27	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   − cmin 8214  ℕcn 9007  2c2 9058  ℤcz 9343  ...cfz 10100   mod cmo 10431   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fl 10377  df-mod 10432  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  15423  2lgslem3c1  15424