Theorem mod2eq1n2dvds 12411

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 9193	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
2		pm13.181 2482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
4	3	neneqd 2421	. . . 4 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6		mod2eq0even 12410	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
7	6	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
8	7	notnotd 633	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
9	5, 8	2falsed 707	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11		1ne0 9194	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
12		pm13.181 2482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
13	11, 12	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
14	13	neneqd 2421	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
16	6	notbid 671	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
19	10, 18	2thd 175	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20		2nn 9288	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		zmodfz 10585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
22	20, 21	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23		2m1e1 9244	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
24	23	oveq2i 6021	. . . 4 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
25	22, 24	eleqtrdi 2322	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26		fz01or 10324	. . 3 ⊢ ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
27	25, 26	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
28	9, 19, 27	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  0cc0 8015  1c1 8016   − cmin 8333  ℕcn 9126  2c2 9177  ℤcz 9462  ...cfz 10221   mod cmo 10561   ∥ cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fl 10507  df-mod 10562  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  15798  2lgslem3c1  15799