Theorem mod2eq1n2dvds 11904

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 9006	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
2		pm13.181 2442	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
4	3	neneqd 2381	. . . 4 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
5	4	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6		mod2eq0even 11903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
7	6	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
8	7	notnotd 631	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
9	5, 8	2falsed 703	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11		1ne0 9007	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
12		pm13.181 2442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
13	11, 12	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
14	13	neneqd 2381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
16	6	notbid 668	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
19	10, 18	2thd 175	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20		2nn 9100	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		zmodfz 10366	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
22	20, 21	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23		2m1e1 9057	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
24	23	oveq2i 5903	. . . 4 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
25	22, 24	eleqtrdi 2282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26		fz01or 10131	. . 3 ⊢ ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
27	25, 26	sylib 122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
28	9, 19, 27	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  0cc0 7831  1c1 7832   − cmin 8148  ℕcn 8939  2c2 8990  ℤcz 9273  ...cfz 10028   mod cmo 10342   ∥ cdvds 11814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fl 10290  df-mod 10343  df-dvds 11815

This theorem is referenced by: (None)