ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 11218
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
StepHypRef Expression
1 0ne1 8550 . . . . . 6 0 ≠ 1
2 pm13.181 2338 . . . . . 6 (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
31, 2mpan2 417 . . . . 5 ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
43neneqd 2277 . . . 4 ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
54adantl 272 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6 mod2eq0even 11217 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
76biimpa 291 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
87notnotd 596 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
95, 82falsed 654 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10 simpr 109 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11 1ne0 8551 . . . . . . 7 1 ≠ 0
12 pm13.181 2338 . . . . . . 7 (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
1311, 12mpan2 417 . . . . . 6 ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
1413neneqd 2277 . . . . 5 ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
1514adantl 272 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
166notbid 628 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1716adantr 271 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1815, 17mpbid 146 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
1910, 182thd 174 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20 2nn 8638 . . . . 5 2 ∈ ℕ
21 zmodfz 9814 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
2220, 21mpan2 417 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23 2m1e1 8601 . . . . 5 (2 − 1) = 1
2423oveq2i 5677 . . . 4 (0...(2 − 1)) = (0...1)
2522, 24syl6eleq 2181 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26 fz01or 9586 . . 3 ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
2725, 26sylib 121 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
289, 19, 27mpjaodan 748 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 665   = wceq 1290  wcel 1439  wne 2256   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  0cc0 7411  1c1 7412  cmin 7714  cn 8483  2c2 8534  cz 8811  ...cfz 9485   mod cmo 9790  cdvds 11135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-fl 9738  df-mod 9791  df-dvds 11136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator