Theorem mod2eq1n2dvds 11816

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 8924	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
2		pm13.181 2418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
3	1, 2	mpan2 422	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
4	3	neneqd 2357	. . . 4 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6		mod2eq0even 11815	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
7	6	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
8	7	notnotd 620	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
9	5, 8	2falsed 692	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11		1ne0 8925	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
12		pm13.181 2418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
13	11, 12	mpan2 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
14	13	neneqd 2357	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
15	14	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
16	6	notbid 657	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
17	16	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
18	15, 17	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
19	10, 18	2thd 174	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20		2nn 9018	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		zmodfz 10281	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
22	20, 21	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23		2m1e1 8975	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
24	23	oveq2i 5853	. . . 4 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...1)
25	22, 24	eleqtrdi 2259	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26		fz01or 10046	. . 3 ⊢ ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
27	25, 26	sylib 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
28	9, 19, 27	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754   − cmin 8069  ℕcn 8857  2c2 8908  ℤcz 9191  ...cfz 9944   mod cmo 10257   ∥ cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-dvds 11728

This theorem is referenced by: (None)