ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds GIF version

Theorem mod2eq1n2dvds 11897
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
StepHypRef Expression
1 0ne1 8999 . . . . . 6 0 ≠ 1
2 pm13.181 2439 . . . . . 6 (((𝑁 mod 2) = 0 ∧ 0 ≠ 1) → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
31, 2mpan2 425 . . . . 5 ((𝑁 mod 2) = 0 → (𝑁 mod 2) ≠ 1)
43neneqd 2378 . . . 4 ((𝑁 mod 2) = 0 → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
54adantl 277 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ (𝑁 mod 2) = 1)
6 mod2eq0even 11896 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ↔ 2 ∥ 𝑁))
76biimpa 296 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → 2 ∥ 𝑁)
87notnotd 631 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑁)
95, 82falsed 703 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 0) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
10 simpr 110 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (𝑁 mod 2) = 1)
11 1ne0 9000 . . . . . . 7 1 ≠ 0
12 pm13.181 2439 . . . . . . 7 (((𝑁 mod 2) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
1311, 12mpan2 425 . . . . . 6 ((𝑁 mod 2) = 1 → (𝑁 mod 2) ≠ 0)
1413neneqd 2378 . . . . 5 ((𝑁 mod 2) = 1 → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
1514adantl 277 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ (𝑁 mod 2) = 0)
166notbid 668 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1716adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → (¬ (𝑁 mod 2) = 0 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
1815, 17mpbid 147 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
1910, 182thd 175 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 2) = 1) → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
20 2nn 9093 . . . . 5 2 ∈ ℕ
21 zmodfz 10359 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
2220, 21mpan2 425 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...(2 − 1)))
23 2m1e1 9050 . . . . 5 (2 − 1) = 1
2423oveq2i 5899 . . . 4 (0...(2 − 1)) = (0...1)
2522, 24eleqtrdi 2280 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0...1))
26 fz01or 10124 . . 3 ((𝑁 mod 2) ∈ (0...1) ↔ ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
2725, 26sylib 122 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 0 ∨ (𝑁 mod 2) = 1))
289, 19, 27mpjaodan 799 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1363  wcel 2158  wne 2357   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825  cmin 8141  cn 8932  2c2 8983  cz 9266  ...cfz 10021   mod cmo 10335  cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fl 10283  df-mod 10336  df-dvds 11808
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator