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Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
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dvds2ln |
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1 | simpr1 952 |
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2 | simpr2 953 |
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3 | 1, 2 | jca 301 |
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4 | simpr3 954 |
. . 3
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5 | 1, 4 | jca 301 |
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6 | simpll 497 |
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7 | 6, 2 | zmulcld 8973 |
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8 | simplr 498 |
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9 | 8, 4 | zmulcld 8973 |
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10 | 7, 9 | zaddcld 8971 |
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12 | zmulcl 8901 |
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14 | 12, 13 | anim12i 332 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | an4s 556 |
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16 | 15 | expcom 115 |
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17 | 16 | adantr 271 |
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18 | 17 | imp 123 |
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19 | zaddcl 8888 |
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21 | zcn 8853 |
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23 | 21, 22 | anim12i 332 |
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25 | 1 | zcnd 8968 |
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27 | adddir 7576 |
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28 | 27 | 3expa 1146 |
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29 | 24, 26, 28 | syl2anc 404 |
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30 | zcn 8853 |
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31 | 30 | adantr 271 |
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34 | 33 | ad3antrrr 477 |
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35 | 32, 34, 26 | mul32d 7732 |
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36 | zcn 8853 |
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37 | 36 | adantl 272 |
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39 | 8 | zcnd 8968 |
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40 | 39 | adantr 271 |
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41 | 38, 40, 26 | mul32d 7732 |
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43 | 32, 26 | mulcld 7605 |
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44 | 43, 34 | mulcomd 7606 |
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45 | 38, 26 | mulcld 7605 |
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46 | 45, 40 | mulcomd 7606 |
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47 | 44, 46 | oveq12d 5708 |
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48 | 29, 42, 47 | 3eqtrd 2131 |
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51 | 49, 50 | oveqan12d 5709 |
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52 | 48, 51 | sylan9eq 2147 |
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53 | 52 | ex 114 |
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54 | 3, 5, 11, 20, 53 | dvds2lem 11251 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-sep 3978 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 ax-cnex 7533 ax-resscn 7534 ax-1cn 7535 ax-1re 7536 ax-icn 7537 ax-addcl 7538 ax-addrcl 7539 ax-mulcl 7540 ax-mulrcl 7541 ax-addcom 7542 ax-mulcom 7543 ax-addass 7544 ax-mulass 7545 ax-distr 7546 ax-i2m1 7547 ax-0lt1 7548 ax-1rid 7549 ax-0id 7550 ax-rnegex 7551 ax-cnre 7553 ax-pre-ltirr 7554 ax-pre-ltwlin 7555 ax-pre-lttrn 7556 ax-pre-ltadd 7558 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 928 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-nel 2358 df-ral 2375 df-rex 2376 df-reu 2377 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-int 3711 df-br 3868 df-opab 3922 df-id 4144 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fv 5057 df-riota 5646 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-pnf 7621 df-mnf 7622 df-xr 7623 df-ltxr 7624 df-le 7625 df-sub 7752 df-neg 7753 df-inn 8521 df-n0 8772 df-z 8849 df-dvds 11240 |
This theorem is referenced by: gcdaddm 11418 dvdsgcd 11444 |
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