Theorem dvds2ln 12448

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	|- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1030	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
2		simpr2 1031	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		simpr3 1032	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
5	1, 4	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> I e. ZZ )
7	6, 2	zmulcld 9652	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( I x. M ) e. ZZ )
8		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. ZZ )
9	8, 4	zmulcld 9652	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( J x. N ) e. ZZ )
10	7, 9	zaddcld 9650	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ )
11	1, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ ) )
12		zmulcl 9577	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( x x. I ) e. ZZ )
13		zmulcl 9577	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( y x. J ) e. ZZ )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
15	14	an4s 592	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
16	15	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
18	17	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
19		zaddcl 9563	. . 3 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
21		zcn 9528	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. I ) e. ZZ -> ( x x. I ) e. CC )
22		zcn 9528	. . . . . . . 8 |- ( ( y x. J ) e. ZZ -> ( y x. J ) e. CC )
23	21, 22	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
24	18, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
25	1	zcnd 9647	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> K e. CC )
27		adddir 8213	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
28	27	3expa 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
29	24, 26, 28	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
30		zcn 9528	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
33		zcn 9528	. . . . . . . 8 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> I e. CC )
35	32, 34, 26	mul32d 8374	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) x. K ) = ( ( x x. K ) x. I ) )
36		zcn 9528	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
39	8	zcnd 9647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. CC )
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> J e. CC )
41	38, 40, 26	mul32d 8374	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. J ) x. K ) = ( ( y x. K ) x. J ) )
42	35, 41	oveq12d 6046	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) = ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) )
43	32, 26	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. K ) e. CC )
44	43, 34	mulcomd 8243	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. K ) x. I ) = ( I x. ( x x. K ) ) )
45	38, 26	mulcld 8242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( y x. K ) e. CC )
46	45, 40	mulcomd 8243	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. K ) x. J ) = ( J x. ( y x. K ) ) )
47	44, 46	oveq12d 6046	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
48	29, 42, 47	3eqtrd 2268	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
49		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( ( x x. K ) = M -> ( I x. ( x x. K ) ) = ( I x. M ) )
50		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( ( y x. K ) = N -> ( J x. ( y x. K ) ) = ( J x. N ) )
51	49, 50	oveqan12d 6047	. . . 4 |- ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
52	48, 51	sylan9eq 2284	. . 3 |- ( ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
53	52	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 12427	1 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   + caddc 8078   x. cmul 8080   ZZcz 9523   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  gcdaddm  12618  dvdsgcd  12646