Theorem dvds2ln 12569

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	|- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1034	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
2		simpr2 1035	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		simpr3 1036	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
5	1, 4	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpll 531	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> I e. ZZ )
7	6, 2	zmulcld 9753	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( I x. M ) e. ZZ )
8		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. ZZ )
9	8, 4	zmulcld 9753	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( J x. N ) e. ZZ )
10	7, 9	zaddcld 9751	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ )
11	1, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ ) )
12		zmulcl 9677	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( x x. I ) e. ZZ )
13		zmulcl 9677	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( y x. J ) e. ZZ )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
15	14	an4s 596	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
16	15	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
18	17	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
19		zaddcl 9663	. . 3 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
21		zcn 9628	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. I ) e. ZZ -> ( x x. I ) e. CC )
22		zcn 9628	. . . . . . . 8 |- ( ( y x. J ) e. ZZ -> ( y x. J ) e. CC )
23	21, 22	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
24	18, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
25	1	zcnd 9748	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> K e. CC )
27		adddir 8307	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
28	27	3expa 1234	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
29	24, 26, 28	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
30		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
33		zcn 9628	. . . . . . . 8 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
34	33	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> I e. CC )
35	32, 34, 26	mul32d 8469	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) x. K ) = ( ( x x. K ) x. I ) )
36		zcn 9628	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
39	8	zcnd 9748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. CC )
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> J e. CC )
41	38, 40, 26	mul32d 8469	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. J ) x. K ) = ( ( y x. K ) x. J ) )
42	35, 41	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) = ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) )
43	32, 26	mulcld 8336	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. K ) e. CC )
44	43, 34	mulcomd 8337	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. K ) x. I ) = ( I x. ( x x. K ) ) )
45	38, 26	mulcld 8336	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( y x. K ) e. CC )
46	45, 40	mulcomd 8337	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. K ) x. J ) = ( J x. ( y x. K ) ) )
47	44, 46	oveq12d 6093	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
48	29, 42, 47	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
49		oveq2 6083	. . . . 5 |- ( ( x x. K ) = M -> ( I x. ( x x. K ) ) = ( I x. M ) )
50		oveq2 6083	. . . . 5 |- ( ( y x. K ) = N -> ( J x. ( y x. K ) ) = ( J x. N ) )
51	49, 50	oveqan12d 6094	. . . 4 |- ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
52	48, 51	sylan9eq 2291	. . 3 |- ( ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
53	52	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 12548	1 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   + caddc 8172   x. cmul 8174   ZZcz 9623   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  gcdaddm  12739  dvdsgcd  12767