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Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
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dvds2ln |
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1 | simpr1 988 |
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2 | simpr2 989 |
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4 | simpr3 990 |
. . 3
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5 | 1, 4 | jca 304 |
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6 | simpll 519 |
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7 | 6, 2 | zmulcld 9203 |
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8 | simplr 520 |
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9 | 8, 4 | zmulcld 9203 |
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10 | 7, 9 | zaddcld 9201 |
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12 | zmulcl 9131 |
. . . . . . . 8
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14 | 12, 13 | anim12i 336 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | an4s 578 |
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16 | 15 | expcom 115 |
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17 | 16 | adantr 274 |
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18 | 17 | imp 123 |
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19 | zaddcl 9118 |
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23 | 21, 22 | anim12i 336 |
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25 | 1 | zcnd 9198 |
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26 | 25 | adantr 274 |
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27 | adddir 7781 |
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28 | 27 | 3expa 1182 |
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29 | 24, 26, 28 | syl2anc 409 |
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31 | 30 | adantr 274 |
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34 | 33 | ad3antrrr 484 |
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35 | 32, 34, 26 | mul32d 7939 |
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36 | zcn 9083 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36 | adantl 275 |
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39 | 8 | zcnd 9198 |
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40 | 39 | adantr 274 |
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41 | 38, 40, 26 | mul32d 7939 |
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43 | 32, 26 | mulcld 7810 |
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44 | 43, 34 | mulcomd 7811 |
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45 | 38, 26 | mulcld 7810 |
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46 | 45, 40 | mulcomd 7811 |
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47 | 44, 46 | oveq12d 5800 |
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48 | 29, 42, 47 | 3eqtrd 2177 |
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49 | oveq2 5790 |
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50 | oveq2 5790 |
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51 | 49, 50 | oveqan12d 5801 |
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52 | 48, 51 | sylan9eq 2193 |
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53 | 52 | ex 114 |
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54 | 3, 5, 11, 20, 53 | dvds2lem 11541 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-ltadd 7760 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-inn 8745 df-n0 9002 df-z 9079 df-dvds 11530 |
This theorem is referenced by: gcdaddm 11708 dvdsgcd 11736 |
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