Theorem dvds2ln 11515

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	|- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 987	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
2		simpr2 988	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		simpr3 989	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
5	1, 4	jca 304	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpll 518	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> I e. ZZ )
7	6, 2	zmulcld 9172	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( I x. M ) e. ZZ )
8		simplr 519	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. ZZ )
9	8, 4	zmulcld 9172	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( J x. N ) e. ZZ )
10	7, 9	zaddcld 9170	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ )
11	1, 10	jca 304	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ ) )
12		zmulcl 9100	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( x x. I ) e. ZZ )
13		zmulcl 9100	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( y x. J ) e. ZZ )
14	12, 13	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
15	14	an4s 577	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
16	15	expcom 115	. . . . 5 |- ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
17	16	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
18	17	imp 123	. . 3 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
19		zaddcl 9087	. . 3 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
21		zcn 9052	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. I ) e. ZZ -> ( x x. I ) e. CC )
22		zcn 9052	. . . . . . . 8 |- ( ( y x. J ) e. ZZ -> ( y x. J ) e. CC )
23	21, 22	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
24	18, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
25	1	zcnd 9167	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. CC )
26	25	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> K e. CC )
27		adddir 7750	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
28	27	3expa 1181	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
29	24, 26, 28	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
30		zcn 9052	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
31	30	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
32	31	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
33		zcn 9052	. . . . . . . 8 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
34	33	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> I e. CC )
35	32, 34, 26	mul32d 7908	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) x. K ) = ( ( x x. K ) x. I ) )
36		zcn 9052	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	36	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
38	37	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
39	8	zcnd 9167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. CC )
40	39	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> J e. CC )
41	38, 40, 26	mul32d 7908	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. J ) x. K ) = ( ( y x. K ) x. J ) )
42	35, 41	oveq12d 5785	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) = ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) )
43	32, 26	mulcld 7779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. K ) e. CC )
44	43, 34	mulcomd 7780	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. K ) x. I ) = ( I x. ( x x. K ) ) )
45	38, 26	mulcld 7779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( y x. K ) e. CC )
46	45, 40	mulcomd 7780	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. K ) x. J ) = ( J x. ( y x. K ) ) )
47	44, 46	oveq12d 5785	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
48	29, 42, 47	3eqtrd 2174	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
49		oveq2 5775	. . . . 5 |- ( ( x x. K ) = M -> ( I x. ( x x. K ) ) = ( I x. M ) )
50		oveq2 5775	. . . . 5 |- ( ( y x. K ) = N -> ( J x. ( y x. K ) ) = ( J x. N ) )
51	49, 50	oveqan12d 5786	. . . 4 |- ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
52	48, 51	sylan9eq 2190	. . 3 |- ( ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
53	52	ex 114	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 11494	1 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   + caddc 7616   x. cmul 7618   ZZcz 9047   || cdvds 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-dvds 11483

This theorem is referenced by:  gcdaddm  11661  dvdsgcd  11689