Theorem dvds2ln 12350

Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds2ln	|- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1027	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
2		simpr2 1028	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
4		simpr3 1029	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
5	1, 4	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> I e. ZZ )
7	6, 2	zmulcld 9586	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( I x. M ) e. ZZ )
8		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. ZZ )
9	8, 4	zmulcld 9586	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( J x. N ) e. ZZ )
10	7, 9	zaddcld 9584	. . 3 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ )
11	1, 10	jca 306	. 2 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) e. ZZ ) )
12		zmulcl 9511	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( x x. I ) e. ZZ )
13		zmulcl 9511	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( y x. J ) e. ZZ )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( y e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
15	14	an4s 590	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
16	15	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) ) )
18	17	imp 124	. . 3 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) )
19		zaddcl 9497	. . 3 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
20	18, 19	syl 14	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) e. ZZ )
21		zcn 9462	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. I ) e. ZZ -> ( x x. I ) e. CC )
22		zcn 9462	. . . . . . . 8 |- ( ( y x. J ) e. ZZ -> ( y x. J ) e. CC )
23	21, 22	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. ZZ /\ ( y x. J ) e. ZZ ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
24	18, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) )
25	1	zcnd 9581	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> K e. CC )
27		adddir 8148	. . . . . . 7 |- ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
28	27	3expa 1227	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x x. I ) e. CC /\ ( y x. J ) e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
29	24, 26, 28	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) )
30		zcn 9462	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
32	31	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
33		zcn 9462	. . . . . . . 8 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> I e. CC )
35	32, 34, 26	mul32d 8310	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. I ) x. K ) = ( ( x x. K ) x. I ) )
36		zcn 9462	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
39	8	zcnd 9581	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> J e. CC )
40	39	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> J e. CC )
41	38, 40, 26	mul32d 8310	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. J ) x. K ) = ( ( y x. K ) x. J ) )
42	35, 41	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) x. K ) + ( ( y x. J ) x. K ) ) = ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) )
43	32, 26	mulcld 8178	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( x x. K ) e. CC )
44	43, 34	mulcomd 8179	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( x x. K ) x. I ) = ( I x. ( x x. K ) ) )
45	38, 26	mulcld 8178	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( y x. K ) e. CC )
46	45, 40	mulcomd 8179	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( y x. K ) x. J ) = ( J x. ( y x. K ) ) )
47	44, 46	oveq12d 6025	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) x. I ) + ( ( y x. K ) x. J ) ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
48	29, 42, 47	3eqtrd 2266	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) )
49		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( ( x x. K ) = M -> ( I x. ( x x. K ) ) = ( I x. M ) )
50		oveq2 6015	. . . . 5 |- ( ( y x. K ) = N -> ( J x. ( y x. K ) ) = ( J x. N ) )
51	49, 50	oveqan12d 6026	. . . 4 |- ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( I x. ( x x. K ) ) + ( J x. ( y x. K ) ) ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
52	48, 51	sylan9eq 2282	. . 3 |- ( ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) /\ ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) )
53	52	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( x x. K ) = M /\ ( y x. K ) = N ) -> ( ( ( x x. I ) + ( y x. J ) ) x. K ) = ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )
54	3, 5, 11, 20, 53	dvds2lem 12329	1 |- ( ( ( I e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( K || M /\ K || N ) -> K || ( ( I x. M ) + ( J x. N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8008   + caddc 8013   x. cmul 8015   ZZcz 9457   || cdvds 12313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-dvds 12314

This theorem is referenced by:  gcdaddm  12520  dvdsgcd  12548