ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds2ln Unicode version

Theorem dvds2ln 11272
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 952 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 simpr2 953 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 301 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 simpr3 954 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
51, 4jca 301 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 simpll 497 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  ZZ )
76, 2zmulcld 8973 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  x.  M
)  e.  ZZ )
8 simplr 498 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  ZZ )
98, 4zmulcld 8973 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( J  x.  N
)  e.  ZZ )
107, 9zaddcld 8971 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ )
111, 10jca 301 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  ( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ ) )
12 zmulcl 8901 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  I
)  e.  ZZ )
13 zmulcl 8901 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )
1412, 13anim12i 332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1514an4s 556 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1615expcom 115 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1716adantr 271 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1817imp 123 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  ZZ  /\  (
y  x.  J )  e.  ZZ ) )
19 zaddcl 8888 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  e.  ZZ )
2018, 19syl 14 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  e.  ZZ )
21 zcn 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  I )  e.  ZZ  ->  (
x  x.  I )  e.  CC )
22 zcn 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  x.  J )  e.  ZZ  ->  (
y  x.  J )  e.  CC )
2321, 22anim12i 332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J )  e.  CC ) )
2418, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  CC  /\  (
y  x.  J )  e.  CC ) )
251zcnd 8968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
2625adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
27 adddir 7576 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  x.  K
)  =  ( ( ( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
28273expa 1146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K
)  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
2924, 26, 28syl2anc 404 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K )  +  ( ( y  x.  J
)  x.  K ) ) )
30 zcn 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
3130adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
3231adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
33 zcn 8853 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  CC )
3433ad3antrrr 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  CC )
3532, 34, 26mul32d 7732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  x.  K )  =  ( ( x  x.  K )  x.  I
) )
36 zcn 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
3736adantl 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
3837adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
398zcnd 8968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4039adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4138, 40, 26mul32d 7732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  J )  x.  K )  =  ( ( y  x.  K )  x.  J
) )
4235, 41oveq12d 5708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) )  =  ( ( ( x  x.  K )  x.  I )  +  ( ( y  x.  K
)  x.  J ) ) )
4332, 26mulcld 7605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  K )  e.  CC )
4443, 34mulcomd 7606 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  K )  x.  I )  =  ( I  x.  (
x  x.  K ) ) )
4538, 26mulcld 7605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( y  x.  K )  e.  CC )
4645, 40mulcomd 7606 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  K )  x.  J )  =  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )
4744, 46oveq12d 5708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  x.  I )  +  ( ( y  x.  K )  x.  J ) )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
4829, 42, 473eqtrd 2131 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
49 oveq2 5698 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
I  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( I  x.  M ) )
50 oveq2 5698 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  K )  =  N  ->  ( J  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( J  x.  N
) )
5149, 50oveqan12d 5709 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( I  x.  ( x  x.  K ) )  +  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5248, 51sylan9eq 2147 . . 3  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  x.  K )  =  M  /\  (
y  x.  K )  =  N ) )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5352ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 11251 1  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445    + caddc 7450    x. cmul 7452   ZZcz 8848    || cdvds 11239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-dvds 11240
This theorem is referenced by:  gcdaddm  11418  dvdsgcd  11444
  Copyright terms: Public domain W3C validator