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Theorem dvds2ln 11533
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 987 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
2 simpr2 988 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 304 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 simpr3 989 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
51, 4jca 304 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
6 simpll 518 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  ZZ )
76, 2zmulcld 9186 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  x.  M
)  e.  ZZ )
8 simplr 519 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  ZZ )
98, 4zmulcld 9186 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( J  x.  N
)  e.  ZZ )
107, 9zaddcld 9184 . . 3  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ )
111, 10jca 304 . 2  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  ( ( I  x.  M )  +  ( J  x.  N ) )  e.  ZZ ) )
12 zmulcl 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  I
)  e.  ZZ )
13 zmulcl 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )
1412, 13anim12i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1514an4s 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  x.  I )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) )
1615expcom 115 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1716adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
1817imp 123 . . 3  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  ZZ  /\  (
y  x.  J )  e.  ZZ ) )
19 zaddcl 9101 . . 3  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  e.  ZZ )
2018, 19syl 14 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  e.  ZZ )
21 zcn 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  I )  e.  ZZ  ->  (
x  x.  I )  e.  CC )
22 zcn 9066 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  x.  J )  e.  ZZ  ->  (
y  x.  J )  e.  CC )
2321, 22anim12i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J )  e.  CC ) )
2418, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  e.  CC  /\  (
y  x.  J )  e.  CC ) )
251zcnd 9181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
2625adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
27 adddir 7764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  x.  I
)  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J
) )  x.  K
)  =  ( ( ( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
28273expa 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  x.  I )  e.  CC  /\  ( y  x.  J
)  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K
)  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) ) )
2924, 26, 28syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( ( x  x.  I )  x.  K )  +  ( ( y  x.  J
)  x.  K ) ) )
30 zcn 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
3130adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
3231adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  CC )
33 zcn 9066 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  CC )
3433ad3antrrr 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  I  e.  CC )
3532, 34, 26mul32d 7922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  I )  x.  K )  =  ( ( x  x.  K )  x.  I
) )
36 zcn 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
3736adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
3837adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  y  e.  CC )
398zcnd 9181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4039adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  CC )
4138, 40, 26mul32d 7922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  J )  x.  K )  =  ( ( y  x.  K )  x.  J
) )
4235, 41oveq12d 5792 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  x.  K )  +  ( ( y  x.  J )  x.  K ) )  =  ( ( ( x  x.  K )  x.  I )  +  ( ( y  x.  K
)  x.  J ) ) )
4332, 26mulcld 7793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( x  x.  K )  e.  CC )
4443, 34mulcomd 7794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  x.  K )  x.  I )  =  ( I  x.  (
x  x.  K ) ) )
4538, 26mulcld 7793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( y  x.  K )  e.  CC )
4645, 40mulcomd 7794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  x.  K )  x.  J )  =  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )
4744, 46oveq12d 5792 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  x.  I )  +  ( ( y  x.  K )  x.  J ) )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
4829, 42, 473eqtrd 2176 . . . 4  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  I
)  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  ( x  x.  K
) )  +  ( J  x.  ( y  x.  K ) ) ) )
49 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  K )  =  M  ->  (
I  x.  ( x  x.  K ) )  =  ( I  x.  M ) )
50 oveq2 5782 . . . . 5  |-  ( ( y  x.  K )  =  N  ->  ( J  x.  ( y  x.  K ) )  =  ( J  x.  N
) )
5149, 50oveqan12d 5793 . . . 4  |-  ( ( ( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( I  x.  ( x  x.  K ) )  +  ( J  x.  (
y  x.  K ) ) )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5248, 51sylan9eq 2192 . . 3  |-  ( ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( ( x  x.  K )  =  M  /\  (
y  x.  K )  =  N ) )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) )
5352ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( x  x.  K
)  =  M  /\  ( y  x.  K
)  =  N )  ->  ( ( ( x  x.  I )  +  ( y  x.  J ) )  x.  K )  =  ( ( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 11512 1  |-  ( ( ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( K  ||  M  /\  K  ||  N
)  ->  K  ||  (
( I  x.  M
)  +  ( J  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7625    + caddc 7630    x. cmul 7632   ZZcz 9061    || cdvds 11500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-dvds 11501
This theorem is referenced by:  gcdaddm  11679  dvdsgcd  11707
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