Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds2ln Unicode version

Theorem dvds2ln 11533
 Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 987 . . 3
2 simpr2 988 . . 3
31, 2jca 304 . 2
4 simpr3 989 . . 3
51, 4jca 304 . 2
6 simpll 518 . . . . 5
76, 2zmulcld 9186 . . . 4
8 simplr 519 . . . . 5
98, 4zmulcld 9186 . . . 4
107, 9zaddcld 9184 . . 3
111, 10jca 304 . 2
12 zmulcl 9114 . . . . . . . 8
13 zmulcl 9114 . . . . . . . 8
1412, 13anim12i 336 . . . . . . 7
1514an4s 577 . . . . . 6
1615expcom 115 . . . . 5
1716adantr 274 . . . 4
1817imp 123 . . 3
19 zaddcl 9101 . . 3
2018, 19syl 14 . 2
21 zcn 9066 . . . . . . . 8
22 zcn 9066 . . . . . . . 8
2321, 22anim12i 336 . . . . . . 7
2418, 23syl 14 . . . . . 6
251zcnd 9181 . . . . . . 7
2625adantr 274 . . . . . 6
27 adddir 7764 . . . . . . 7
28273expa 1181 . . . . . 6
2924, 26, 28syl2anc 408 . . . . 5
30 zcn 9066 . . . . . . . . 9
3130adantr 274 . . . . . . . 8
3231adantl 275 . . . . . . 7
33 zcn 9066 . . . . . . . 8
3433ad3antrrr 483 . . . . . . 7
3532, 34, 26mul32d 7922 . . . . . 6
36 zcn 9066 . . . . . . . . 9
3736adantl 275 . . . . . . . 8
3837adantl 275 . . . . . . 7
398zcnd 9181 . . . . . . . 8
4039adantr 274 . . . . . . 7
4138, 40, 26mul32d 7922 . . . . . 6
4235, 41oveq12d 5792 . . . . 5
4332, 26mulcld 7793 . . . . . . 7
4443, 34mulcomd 7794 . . . . . 6
4538, 26mulcld 7793 . . . . . . 7
4645, 40mulcomd 7794 . . . . . 6
4744, 46oveq12d 5792 . . . . 5
4829, 42, 473eqtrd 2176 . . . 4
49 oveq2 5782 . . . . 5
50 oveq2 5782 . . . . 5
5149, 50oveqan12d 5793 . . . 4
5248, 51sylan9eq 2192 . . 3
5352ex 114 . 2
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 11512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7625   caddc 7630   cmul 7632  cz 9061   cdvds 11500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-dvds 11501 This theorem is referenced by:  gcdaddm  11679  dvdsgcd  11707
 Copyright terms: Public domain W3C validator