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Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
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dvds2ln |
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1 | simpr1 1004 |
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2 | simpr2 1005 |
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3 | 1, 2 | jca 306 |
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4 | simpr3 1006 |
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5 | 1, 4 | jca 306 |
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6 | simpll 527 |
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7 | 6, 2 | zmulcld 9398 |
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8 | simplr 528 |
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9 | 8, 4 | zmulcld 9398 |
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10 | 7, 9 | zaddcld 9396 |
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11 | 1, 10 | jca 306 |
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12 | zmulcl 9323 |
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14 | 12, 13 | anim12i 338 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | an4s 588 |
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16 | 15 | expcom 116 |
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17 | 16 | adantr 276 |
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18 | 17 | imp 124 |
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19 | zaddcl 9310 |
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21 | zcn 9275 |
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23 | 21, 22 | anim12i 338 |
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26 | 25 | adantr 276 |
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27 | adddir 7965 |
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28 | 27 | 3expa 1204 |
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29 | 24, 26, 28 | syl2anc 411 |
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30 | zcn 9275 |
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31 | 30 | adantr 276 |
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32 | 31 | adantl 277 |
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34 | 33 | ad3antrrr 492 |
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35 | 32, 34, 26 | mul32d 8127 |
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36 | zcn 9275 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36 | adantl 277 |
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38 | 37 | adantl 277 |
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39 | 8 | zcnd 9393 |
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40 | 39 | adantr 276 |
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41 | 38, 40, 26 | mul32d 8127 |
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42 | 35, 41 | oveq12d 5908 |
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43 | 32, 26 | mulcld 7995 |
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44 | 43, 34 | mulcomd 7996 |
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45 | 38, 26 | mulcld 7995 |
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46 | 45, 40 | mulcomd 7996 |
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47 | 44, 46 | oveq12d 5908 |
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48 | 29, 42, 47 | 3eqtrd 2225 |
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49 | oveq2 5898 |
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50 | oveq2 5898 |
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51 | 49, 50 | oveqan12d 5909 |
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52 | 48, 51 | sylan9eq 2241 |
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53 | 52 | ex 115 |
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54 | 3, 5, 11, 20, 53 | dvds2lem 11827 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2161 ax-14 2162 ax-ext 2170 ax-sep 4135 ax-pow 4188 ax-pr 4223 ax-un 4447 ax-setind 4550 ax-cnex 7919 ax-resscn 7920 ax-1cn 7921 ax-1re 7922 ax-icn 7923 ax-addcl 7924 ax-addrcl 7925 ax-mulcl 7926 ax-mulrcl 7927 ax-addcom 7928 ax-mulcom 7929 ax-addass 7930 ax-mulass 7931 ax-distr 7932 ax-i2m1 7933 ax-0lt1 7934 ax-1rid 7935 ax-0id 7936 ax-rnegex 7937 ax-cnre 7939 ax-pre-ltirr 7940 ax-pre-ltwlin 7941 ax-pre-lttrn 7942 ax-pre-ltadd 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2040 df-mo 2041 df-clab 2175 df-cleq 2181 df-clel 2184 df-nfc 2320 df-ne 2360 df-nel 2455 df-ral 2472 df-rex 2473 df-reu 2474 df-rab 2476 df-v 2753 df-sbc 2977 df-dif 3145 df-un 3147 df-in 3149 df-ss 3156 df-pw 3591 df-sn 3612 df-pr 3613 df-op 3615 df-uni 3824 df-int 3859 df-br 4018 df-opab 4079 df-id 4307 df-xp 4646 df-rel 4647 df-cnv 4648 df-co 4649 df-dm 4650 df-iota 5192 df-fun 5232 df-fv 5238 df-riota 5846 df-ov 5893 df-oprab 5894 df-mpo 5895 df-pnf 8011 df-mnf 8012 df-xr 8013 df-ltxr 8014 df-le 8015 df-sub 8147 df-neg 8148 df-inn 8937 df-n0 9194 df-z 9271 df-dvds 11812 |
This theorem is referenced by: gcdaddm 12002 dvdsgcd 12030 |
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