Theorem modmulconst 12355

Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmulconst	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Proof of Theorem modmulconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9481	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6		nnz 9481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
7		nnne0 9154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
9	8	3ad2ant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
11		dvdscmulr 12352	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
12	11	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
14		zcn 9467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		zcn 9467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16		nncn 9134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	3anim123i 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
18		3anrot 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20		subdi 8547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
23	22	breq2d 4095	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
24	13, 23	bitrd 188	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
25		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
26		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
29	28	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		moddvds 12331	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	25, 27, 29, 30	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
32		simpl3 1026	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
33	32, 25	nnmulcld 9175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ)
34	6	3ad2ant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34, 26	zmulcld 9591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
36	35	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
37	34, 28	zmulcld 9591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
39		moddvds 12331	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
40	33, 36, 38, 39	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
41	24, 31, 40	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  0cc0 8015   · cmul 8020   − cmin 8333  ℕcn 9126  ℤcz 9462   mod cmo 10561   ∥ cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562  df-dvds 12320

This theorem is referenced by: (None)