Theorem modmulconst 12509

Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmulconst	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Proof of Theorem modmulconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9596	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 9618	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6		nnz 9596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
7		nnne0 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
9	8	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
11		dvdscmulr 12506	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
12	11	bicomd 141	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
14		zcn 9582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		zcn 9582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16		nncn 9245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	3anim123i 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
18		3anrot 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20		subdi 8658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
21	19, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
22	21	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
23	22	breq2d 4121	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
24	13, 23	bitrd 188	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
25		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
26		simp1 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
29	28	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		moddvds 12485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	25, 27, 29, 30	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
32		simpl3 1029	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
33	32, 25	nnmulcld 9286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ)
34	6	3ad2ant3 1047	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34, 26	zmulcld 9706	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
36	35	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
37	34, 28	zmulcld 9706	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
39		moddvds 12485	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
40	33, 36, 38, 39	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
41	24, 31, 40	3bitr4d 220	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   · cmul 8132   − cmin 8444  ℕcn 9237  ℤcz 9577   mod cmo 10684   ∥ cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685  df-dvds 12474

This theorem is referenced by: (None)