Theorem modsubi 12908

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnq 9796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modsubi.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 9374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
8	4, 7	eqeltrri 2283	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9436	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
10		zq 9789	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℚ)
12	6	nn0negzi 9449	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℤ
13		zq 9789	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℚ)
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → -𝐵 ∈ ℚ)
15		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		nnq 9796	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℚ)
18		nngt0 9103	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 < 𝑁)
20		modsubi.6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10550	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
23	22	mptru 1384	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
24	1	nncni 9088	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
25	6	nn0cni 9349	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
26	24, 25	negsubi 8392	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
27	26	oveq1i 5984	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
28	7	nn0rei 9348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
29	4, 28	eqeltrri 2283	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
30	29	recni 8126	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
31	30, 25	negsubi 8392	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
32	5	nn0cni 9349	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
33	30, 25, 32	subadd2i 8402	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
35	31, 34	eqtri 2230	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
36	35	oveq1i 5984	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2238	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1375  ⊤wtru 1376   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967   + caddc 7970   < clt 8149   − cmin 8285  -cneg 8286  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  ℚcq 9782   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by: (None)