Theorem modsubi 12786

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnq 9761	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modsubi.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 9339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
8	4, 7	eqeltrri 2280	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9401	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
10		zq 9754	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℚ)
12	6	nn0negzi 9414	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℤ
13		zq 9754	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℚ)
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → -𝐵 ∈ ℚ)
15		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		nnq 9761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℚ)
18		nngt0 9068	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 < 𝑁)
20		modsubi.6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10513	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
23	22	mptru 1382	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
24	1	nncni 9053	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
25	6	nn0cni 9314	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
26	24, 25	negsubi 8357	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
27	26	oveq1i 5961	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
28	7	nn0rei 9313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
29	4, 28	eqeltrri 2280	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
30	29	recni 8091	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
31	30, 25	negsubi 8357	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
32	5	nn0cni 9314	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
33	30, 25, 32	subadd2i 8367	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
35	31, 34	eqtri 2227	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
36	35	oveq1i 5961	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2235	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  ℝcr 7931  0cc0 7932   + caddc 7935   < clt 8114   − cmin 8250  -cneg 8251  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℚcq 9747   mod cmo 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475

This theorem is referenced by: (None)