Theorem modsubi 13015

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnq 9872	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modsubi.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 9444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
8	4, 7	eqeltrri 2304	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9506	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
10		zq 9865	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℚ)
12	6	nn0negzi 9519	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℤ
13		zq 9865	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℚ)
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → -𝐵 ∈ ℚ)
15		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		nnq 9872	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℚ)
18		nngt0 9173	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 < 𝑁)
20		modsubi.6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10629	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
23	22	mptru 1406	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
24	1	nncni 9158	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
25	6	nn0cni 9419	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
26	24, 25	negsubi 8462	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
27	26	oveq1i 6033	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
28	7	nn0rei 9418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
29	4, 28	eqeltrri 2304	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
30	29	recni 8196	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
31	30, 25	negsubi 8462	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
32	5	nn0cni 9419	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
33	30, 25, 32	subadd2i 8472	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
35	31, 34	eqtri 2251	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
36	35	oveq1i 6033	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2259	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037   + caddc 8040   < clt 8219   − cmin 8355  -cneg 8356  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℚcq 9858   mod cmo 10590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591

This theorem is referenced by: (None)