Theorem modsubi 12963

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnq 9845	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modsubi.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 9422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
8	4, 7	eqeltrri 2303	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9484	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
10		zq 9838	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℚ)
12	6	nn0negzi 9497	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℤ
13		zq 9838	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℚ)
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → -𝐵 ∈ ℚ)
15		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		nnq 9845	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℚ)
18		nngt0 9151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 < 𝑁)
20		modsubi.6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10600	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
23	22	mptru 1404	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
24	1	nncni 9136	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
25	6	nn0cni 9397	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
26	24, 25	negsubi 8440	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
27	26	oveq1i 6020	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
28	7	nn0rei 9396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
29	4, 28	eqeltrri 2303	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
30	29	recni 8174	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
31	30, 25	negsubi 8440	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
32	5	nn0cni 9397	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
33	30, 25, 32	subadd2i 8450	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
35	31, 34	eqtri 2250	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
36	35	oveq1i 6020	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2258	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℝcr 8014  0cc0 8015   + caddc 8018   < clt 8197   − cmin 8333  -cneg 8334  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℚcq 9831   mod cmo 10561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562

This theorem is referenced by: (None)