Theorem modsubi 13110

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
modsubi.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
modsubi.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
modsubi.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
modsubi.6	⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
modsubi.5	⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
modsubi	⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nnq 9961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℚ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4		modsubi.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 9529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℕ0
8	4, 7	eqeltrri 2306	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9595	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
10		zq 9954	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℚ)
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ ℚ)
12	6	nn0negzi 9608	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℤ
13		zq 9954	. . . . 5 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℚ)
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → -𝐵 ∈ ℚ)
15		modsubi.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
16		nnq 9961	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑁 ∈ ℚ)
18		nngt0 9258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 < 𝑁)
20		modsubi.6	. . . . 5 ⊢ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁)
21	20	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10719	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁))
23	22	mptru 1407	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁)
24	1	nncni 9243	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
25	6	nn0cni 9504	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
26	24, 25	negsubi 8547	. . 3 ⊢ (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵)
27	26	oveq1i 6059	. 2 ⊢ ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁)
28	7	nn0rei 9503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝐵) ∈ ℝ
29	4, 28	eqeltrri 2306	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
30	29	recni 8282	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
31	30, 25	negsubi 8547	. . . 4 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = (𝐾 − 𝐵)
32	5	nn0cni 9504	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
33	30, 25, 32	subadd2i 8557	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐵) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 𝐵) = 𝐾)
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (𝐾 − 𝐵) = 𝑀
35	31, 34	eqtri 2253	. . 3 ⊢ (𝐾 + -𝐵) = 𝑀
36	35	oveq1i 6059	. 2 ⊢ ((𝐾 + -𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2261	1 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (𝑀 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  0cc0 8123   + caddc 8126   < clt 8304   − cmin 8440  -cneg 8441  ℕcn 9233  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ℚcq 9947   mod cmo 10680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-n0 9493  df-z 9574  df-q 9948  df-rp 9983  df-fl 10626  df-mod 10681

This theorem is referenced by: (None)