Theorem cnfldui 15032

Description: The invertible complex numbers are exactly those apart from zero. This is recapb 9009 but expressed in terms of ℂ_fld. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldui	|- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldui

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recapb 9009	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( x # 0 <-> E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
2	1	pm5.32i 458	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
3		breq1 4134	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2982	. . . 4 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5		cncrng 15014	. . . . . 6 |- ℂfld e. CRing
6		eqid 2238	. . . . . . 7 |- (Unit ` ℂfld ) = (Unit ` ℂfld )
7		cnfld1 15017	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
8		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( ||r ` ℂfld ) = ( ||r ` ℂfld )
9	6, 7, 8	crngunit 14526	. . . . . 6 |- (ℂfld e. CRing -> ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> x ( ||r ` ℂfld ) 1 ) )
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> x ( ||r ` ℂfld ) 1 )
11		cnfldbas 15005	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
13		eqidd 2239	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( ||r ` ℂfld ) = ( ||r ` ℂfld ) )
14		cnring 15015	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. Ring
15		ringsrg 14458	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. SRing )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ℂfld e. SRing
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ℂfld e. SRing )
18		mpocnfldmul 15008	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) = ( .r ` ℂfld )
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) = ( .r ` ℂfld ) )
20	12, 13, 17, 19	dvdsrd 14509	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x ( ||r ` ℂfld ) 1 <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 ) ) )
21	20	mptru 1411	. . . . 5 |- ( x ( ||r ` ℂfld ) 1 <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 ) )
22		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> y e. CC )
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> x e. CC )
24	22, 23	mulcld 8352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y x. x ) e. CC )
25		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = y -> ( u x. v ) = ( y x. v ) )
26		oveq2 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = x -> ( y x. v ) = ( y x. x ) )
27		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
28	25, 26, 27	ovmpog 6226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC /\ ( y x. x ) e. CC ) -> ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = ( y x. x ) )
29	22, 23, 24, 28	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = ( y x. x ) )
30		mulcom 8314	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
31	29, 30	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = ( x x. y ) )
32	31	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 <-> ( x x. y ) = 1 ) )
33	32	rexbidva 2547	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 <-> E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
34	33	pm5.32i 458	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 ) <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
35	10, 21, 34	3bitri 206	. . . 4 |- ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
36	2, 4, 35	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> x e. { z e. CC | z # 0 } )
37	36	eqriv 2235	. 2 |- (Unit ` ℂfld ) = { z e. CC | z # 0 }
38	37	eqcomi 2242	1 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {crab 2532   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   CCcc 8183   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   # cap 8917   Basecbs 13409   .rcmulr 13490  SRingcsrg 14373   Ringcrg 14406   CRingccrg 14407   ||_rcdsr 14500  Unitcui 14501  ℂ_fldccnfld 15001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-cj 11628  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-starv 13504  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-unif 13512  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-cmn 14178  df-abl 14179  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-srg 14374  df-ring 14408  df-cring 14409  df-oppr 14481  df-dvdsr 14503  df-unit 14504  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-fg 14994  df-metu 14995  df-cnfld 15002

This theorem is used by:  expghmap  15050  lgseisenlem4  16414