Theorem cnfldui 14606

Description: The invertible complex numbers are exactly those apart from zero. This is recapb 8851 but expressed in terms of ℂ_fld. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldui	|- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldui

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recapb 8851	. . . . 5 |- ( x e. CC -> ( x # 0 <-> E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
2	1	pm5.32i 454	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ x # 0 ) <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
3		breq1 4091	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z # 0 <-> x # 0 ) )
4	3	elrab 2962	. . . 4 |- ( x e. { z e. CC | z # 0 } <-> ( x e. CC /\ x # 0 ) )
5		cncrng 14586	. . . . . 6 |- ℂfld e. CRing
6		eqid 2231	. . . . . . 7 |- (Unit ` ℂfld ) = (Unit ` ℂfld )
7		cnfld1 14589	. . . . . . 7 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
8		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( ||r ` ℂfld ) = ( ||r ` ℂfld )
9	6, 7, 8	crngunit 14128	. . . . . 6 |- (ℂfld e. CRing -> ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> x ( ||r ` ℂfld ) 1 ) )
10	5, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> x ( ||r ` ℂfld ) 1 )
11		cnfldbas 14577	. . . . . . . 8 |- CC = ( Base ` ℂfld )
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
13		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( ||r ` ℂfld ) = ( ||r ` ℂfld ) )
14		cnring 14587	. . . . . . . . 9 |- ℂfld e. Ring
15		ringsrg 14063	. . . . . . . . 9 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. SRing )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ℂfld e. SRing
17	16	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ℂfld e. SRing )
18		mpocnfldmul 14580	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) = ( .r ` ℂfld )
19	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) = ( .r ` ℂfld ) )
20	12, 13, 17, 19	dvdsrd 14111	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x ( ||r ` ℂfld ) 1 <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 ) ) )
21	20	mptru 1406	. . . . 5 |- ( x ( ||r ` ℂfld ) 1 <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 ) )
22		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> y e. CC )
23		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> x e. CC )
24	22, 23	mulcld 8200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y x. x ) e. CC )
25		oveq1 6025	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = y -> ( u x. v ) = ( y x. v ) )
26		oveq2 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = x -> ( y x. v ) = ( y x. x ) )
27		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) = ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) )
28	25, 26, 27	ovmpog 6156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC /\ ( y x. x ) e. CC ) -> ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = ( y x. x ) )
29	22, 23, 24, 28	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = ( y x. x ) )
30		mulcom 8161	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) = ( y x. x ) )
31	29, 30	eqtr4d 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = ( x x. y ) )
32	31	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 <-> ( x x. y ) = 1 ) )
33	32	rexbidva 2529	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 <-> E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
34	33	pm5.32i 454	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ E. y e. CC ( y ( u e. CC , v e. CC |-> ( u x. v ) ) x ) = 1 ) <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
35	10, 21, 34	3bitri 206	. . . 4 |- ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> ( x e. CC /\ E. y e. CC ( x x. y ) = 1 ) )
36	2, 4, 35	3bitr4ri 213	. . 3 |- ( x e. (Unit ` ℂfld ) <-> x e. { z e. CC | z # 0 } )
37	36	eqriv 2228	. 2 |- (Unit ` ℂfld ) = { z e. CC | z # 0 }
38	37	eqcomi 2235	1 |- { z e. CC | z # 0 } = (Unit ` ℂfld )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2511   {crab 2514   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   x. cmul 8037   # cap 8761   Basecbs 13084   .rcmulr 13163  SRingcsrg 13979   Ringcrg 14012   CRingccrg 14013   ||_rcdsr 14102  Unitcui 14103  ℂ_fldccnfld 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-cj 11404  df-abs 11561  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-starv 13177  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-unif 13185  df-0g 13343  df-topgen 13345  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-cmn 13875  df-abl 13876  df-mgp 13937  df-ur 13976  df-srg 13980  df-ring 14014  df-cring 14015  df-oppr 14084  df-dvdsr 14105  df-unit 14106  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-fg 14566  df-metu 14567  df-cnfld 14574

This theorem is referenced by:  expghmap  14624  lgseisenlem4  15805