ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsrec GIF version

Theorem mulcnsrec 7861
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. The trick involves ecidg 6617, which shows that the coset of the converse epsilon relation (which is not an equivalence relation) leaves a set unchanged. See also dfcnqs 7859. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsrec (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E )

Proof of Theorem mulcnsrec
StepHypRef Expression
1 mulcnsr 7853 . 2 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยท โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
2 opelxpi 4673 . . . 4 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (R ร— R))
3 ecidg 6617 . . . 4 (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (R ร— R) โ†’ [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
42, 3syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
5 opelxpi 4673 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (R ร— R))
6 ecidg 6617 . . . 4 (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (R ร— R) โ†’ [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)
75, 6syl 14 . . 3 ((๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)
84, 7oveqan12d 5910 . 2 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E ) = (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยท โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
9 simpll 527 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ด โˆˆ R)
10 simprl 529 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ถ โˆˆ R)
11 mulclsr 7772 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
129, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ด ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
13 m1r 7770 . . . . . 6 -1R โˆˆ R
14 simplr 528 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ต โˆˆ R)
15 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ท โˆˆ R)
16 mulclsr 7772 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ (๐ต ยทR ๐ท) โˆˆ R)
1714, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ต ยทR ๐ท) โˆˆ R)
18 mulclsr 7772 . . . . . 6 ((-1R โˆˆ R โˆง (๐ต ยทR ๐ท) โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
1913, 17, 18sylancr 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
20 addclsr 7771 . . . . 5 (((๐ด ยทR ๐ถ) โˆˆ R โˆง (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)) โˆˆ R) โ†’ ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))) โˆˆ R)
2112, 19, 20syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))) โˆˆ R)
22 mulclsr 7772 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ต ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
2314, 10, 22syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ต ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
24 mulclsr 7772 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ท) โˆˆ R)
259, 15, 24syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ด ยทR ๐ท) โˆˆ R)
26 addclsr 7771 . . . . 5 (((๐ต ยทR ๐ถ) โˆˆ R โˆง (๐ด ยทR ๐ท) โˆˆ R) โ†’ ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
2723, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
28 opelxpi 4673 . . . 4 ((((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))) โˆˆ R โˆง ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)) โˆˆ R) โ†’ โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ (R ร— R))
2921, 27, 28syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ (R ร— R))
30 ecidg 6617 . . 3 (โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ (R ร— R) โ†’ [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
3129, 30syl 14 . 2 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
321, 8, 313eqtr4d 2232 1 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โŸจcop 3610   E cep 4302   ร— cxp 4639  โ—กccnv 4640  (class class class)co 5891  [cec 6551  Rcnr 7315  -1Rcm1r 7318   +R cplr 7319   ยทR cmr 7320   ยท cmul 7835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7322  df-pli 7323  df-mi 7324  df-lti 7325  df-plpq 7362  df-mpq 7363  df-enq 7365  df-nqqs 7366  df-plqqs 7367  df-mqqs 7368  df-1nqqs 7369  df-rq 7370  df-ltnqqs 7371  df-enq0 7442  df-nq0 7443  df-0nq0 7444  df-plq0 7445  df-mq0 7446  df-inp 7484  df-i1p 7485  df-iplp 7486  df-imp 7487  df-enr 7744  df-nr 7745  df-plr 7746  df-mr 7747  df-m1r 7751  df-c 7836  df-mul 7842
This theorem is referenced by:  axmulcom  7889  axmulass  7891  axdistr  7892
  Copyright terms: Public domain W3C validator