ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsrec GIF version

Theorem mulcnsrec 7855
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. The trick involves ecidg 6612, which shows that the coset of the converse epsilon relation (which is not an equivalence relation) leaves a set unchanged. See also dfcnqs 7853. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsrec (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E )

Proof of Theorem mulcnsrec
StepHypRef Expression
1 mulcnsr 7847 . 2 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยท โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ) = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
2 opelxpi 4670 . . . 4 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (R ร— R))
3 ecidg 6612 . . . 4 (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ โˆˆ (R ร— R) โ†’ [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
42, 3syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ)
5 opelxpi 4670 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (R ร— R))
6 ecidg 6612 . . . 4 (โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โˆˆ (R ร— R) โ†’ [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)
75, 6syl 14 . . 3 ((๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E = โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ)
84, 7oveqan12d 5907 . 2 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E ) = (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ยท โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ))
9 simpll 527 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ด โˆˆ R)
10 simprl 529 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ถ โˆˆ R)
11 mulclsr 7766 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
129, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ด ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
13 m1r 7764 . . . . . 6 -1R โˆˆ R
14 simplr 528 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ต โˆˆ R)
15 simprr 531 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ๐ท โˆˆ R)
16 mulclsr 7766 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ (๐ต ยทR ๐ท) โˆˆ R)
1714, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ต ยทR ๐ท) โˆˆ R)
18 mulclsr 7766 . . . . . 6 ((-1R โˆˆ R โˆง (๐ต ยทR ๐ท) โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
1913, 17, 18sylancr 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
20 addclsr 7765 . . . . 5 (((๐ด ยทR ๐ถ) โˆˆ R โˆง (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท)) โˆˆ R) โ†’ ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))) โˆˆ R)
2112, 19, 20syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))) โˆˆ R)
22 mulclsr 7766 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ R โˆง ๐ถ โˆˆ R) โ†’ (๐ต ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
2314, 10, 22syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ต ยทR ๐ถ) โˆˆ R)
24 mulclsr 7766 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R) โ†’ (๐ด ยทR ๐ท) โˆˆ R)
259, 15, 24syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ (๐ด ยทR ๐ท) โˆˆ R)
26 addclsr 7765 . . . . 5 (((๐ต ยทR ๐ถ) โˆˆ R โˆง (๐ด ยทR ๐ท) โˆˆ R) โ†’ ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
2723, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)) โˆˆ R)
28 opelxpi 4670 . . . 4 ((((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))) โˆˆ R โˆง ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท)) โˆˆ R) โ†’ โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ (R ร— R))
2921, 27, 28syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ (R ร— R))
30 ecidg 6612 . . 3 (โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ โˆˆ (R ร— R) โ†’ [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
3129, 30syl 14 . 2 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E = โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ)
321, 8, 313eqtr4d 2230 1 (((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โˆง (๐ถ โˆˆ R โˆง ๐ท โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐ด ยทR ๐ถ) +R (-1R ยทR (๐ต ยทR ๐ท))), ((๐ต ยทR ๐ถ) +R (๐ด ยทR ๐ท))โŸฉ]โ—ก E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   E cep 4299   ร— cxp 4636  โ—กccnv 4637  (class class class)co 5888  [cec 6546  Rcnr 7309  -1Rcm1r 7312   +R cplr 7313   ยทR cmr 7314   ยท cmul 7829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-imp 7481  df-enr 7738  df-nr 7739  df-plr 7740  df-mr 7741  df-m1r 7745  df-c 7830  df-mul 7836
This theorem is referenced by:  axmulcom  7883  axmulass  7885  axdistr  7886
  Copyright terms: Public domain W3C validator