Theorem mulcnsrec 8176

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. The trick involves ecidg 6848, which shows that the coset of the converse epsilon relation (which is not an equivalence relation) leaves a set unchanged. See also dfcnqs 8174. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulcnsrec	⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E · [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E ) = [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩]◡ E )

Proof of Theorem mulcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcnsr 8168	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
2		opelxpi 4788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R))
3		ecidg 6848	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
5		opelxpi 4788	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R))
6		ecidg 6848	. . . 4 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
8	4, 7	oveqan12d 6079	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E · [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E ) = (⟨𝐴, 𝐵⟩ · ⟨𝐶, 𝐷⟩))
9		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → 𝐴 ∈ R)
10		simprl 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → 𝐶 ∈ R)
11		mulclsr 8087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (𝐴 ·R 𝐶) ∈ R)
13		m1r 8085	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
14		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → 𝐵 ∈ R)
15		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → 𝐷 ∈ R)
16		mulclsr 8087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R)
18		mulclsr 8087	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝐵 ·R 𝐷) ∈ R) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
19	13, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R)
20		addclsr 8086	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷)) ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
21	12, 19, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R)
22		mulclsr 8087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
23	14, 10, 22	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (𝐵 ·R 𝐶) ∈ R)
24		mulclsr 8087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
25	9, 15, 24	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R)
26		addclsr 8086	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐴 ·R 𝐷) ∈ R) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
27	23, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R)
28		opelxpi 4788	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))) ∈ R ∧ ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷)) ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
29	21, 27, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R))
30		ecidg 6848	. . 3 ⊢ (⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩ ∈ (R × R) → [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩]◡ E = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
31	29, 30	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩]◡ E = ⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩)
32	1, 8, 31	3eqtr4d 2277	1 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E · [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E ) = [⟨((𝐴 ·R 𝐶) +R (-1R ·R (𝐵 ·R 𝐷))), ((𝐵 ·R 𝐶) +R (𝐴 ·R 𝐷))⟩]◡ E )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3698   E cep 4414   × cxp 4754  ^◡ccnv 4755  (class class class)co 6060  [cec 6780  Rcnr 7630  -1_Rcm1r 7633   +_R cplr 7634   ·_R cmr 7635   · cmul 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-eprel 4416  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-irdg 6616  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6782  df-ec 6784  df-qs 6788  df-ni 7637  df-pli 7638  df-mi 7639  df-lti 7640  df-plpq 7677  df-mpq 7678  df-enq 7680  df-nqqs 7681  df-plqqs 7682  df-mqqs 7683  df-1nqqs 7684  df-rq 7685  df-ltnqqs 7686  df-enq0 7757  df-nq0 7758  df-0nq0 7759  df-plq0 7760  df-mq0 7761  df-inp 7799  df-i1p 7800  df-iplp 7801  df-imp 7802  df-enr 8059  df-nr 8060  df-plr 8061  df-mr 8062  df-m1r 8066  df-c 8151  df-mul 8157

This theorem is referenced by:  axmulcom  8204  axmulass  8206  axdistr  8207