ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Unicode version

Theorem mulcnsr 7852
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  x.  <. C ,  D >. )  =  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) ) >.
)

Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 7771 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( A  .R  C
)  e.  R. )
21ad2ant2r 509 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( A  .R  C )  e.  R. )
3 m1r 7769 . . . . 5  |-  -1R  e.  R.
4 mulclsr 7771 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  ( B  .R  D
)  e.  R. )
54ad2ant2l 508 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( B  .R  D )  e.  R. )
6 mulclsr 7771 . . . . 5  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( B  .R  D )  e.  R. )  -> 
( -1R  .R  ( B  .R  D ) )  e.  R. )
73, 5, 6sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( B  .R  D
) )  e.  R. )
8 addclsr 7770 . . . 4  |-  ( ( ( A  .R  C
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) )  e.  R. )  -> 
( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) )  e.  R. )
92, 7, 8syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) )  e.  R. )
10 mulclsr 7771 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( B  .R  C
)  e.  R. )
1110ad2ant2lr 510 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( B  .R  C )  e.  R. )
12 mulclsr 7771 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  ( A  .R  D
)  e.  R. )
1312ad2ant2rl 511 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( A  .R  D )  e.  R. )
14 addclsr 7770 . . . 4  |-  ( ( ( B  .R  C
)  e.  R.  /\  ( A  .R  D )  e.  R. )  -> 
( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) )  e.  R. )
1511, 13, 14syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D
) )  e.  R. )
16 opelxpi 4673 . . 3  |-  ( ( ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) )  e.  R.  /\  (
( B  .R  C
)  +R  ( A  .R  D ) )  e.  R. )  ->  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D
) ) >.  e.  ( R.  X.  R. )
)
179, 15, 16syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C
)  +R  ( A  .R  D ) )
>.  e.  ( R.  X.  R. ) )
18 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  w  =  A )
19 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  u  =  C )
2018, 19oveq12d 5909 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( w  .R  u
)  =  ( A  .R  C ) )
21 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
v  =  B )
22 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
f  =  D )
2321, 22oveq12d 5909 . . . . 5  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( v  .R  f
)  =  ( B  .R  D ) )
2423oveq2d 5907 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( -1R  .R  (
v  .R  f )
)  =  ( -1R 
.R  ( B  .R  D ) ) )
2520, 24oveq12d 5909 . . 3  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  ( v  .R  f ) ) )  =  ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) )
2621, 19oveq12d 5909 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( v  .R  u
)  =  ( B  .R  C ) )
2718, 22oveq12d 5909 . . . 4  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( w  .R  f
)  =  ( A  .R  D ) )
2826, 27oveq12d 5909 . . 3  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  -> 
( ( v  .R  u )  +R  (
w  .R  f )
)  =  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) ) )
2925, 28opeq12d 3801 . 2  |-  ( ( ( w  =  A  /\  v  =  B )  /\  ( u  =  C  /\  f  =  D ) )  ->  <. ( ( w  .R  u )  +R  ( -1R  .R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >.  =  <. ( ( A  .R  C
)  +R  ( -1R 
.R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D
) ) >. )
30 df-mul 7841 . . 3  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
31 df-c 7835 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
3231eleq2i 2256 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  <->  x  e.  ( R.  X.  R. )
)
3331eleq2i 2256 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  <->  y  e.  ( R.  X.  R. )
)
3432, 33anbi12i 460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  <->  ( x  e.  ( R. 
X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) ) )
3534anbi1i 458 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
)  <->  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. ) )  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) )
3635oprabbii 5946 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  E. w E. v E. u E. f
( ( x  = 
<. w ,  v >.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
3730, 36eqtri 2210 . 2  |-  x.  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  ( R.  X.  R. )  /\  y  e.  ( R.  X.  R. )
)  /\  E. w E. v E. u E. f ( ( x  =  <. w ,  v
>.  /\  y  =  <. u ,  f >. )  /\  z  =  <. ( ( w  .R  u
)  +R  ( -1R 
.R  ( v  .R  f ) ) ) ,  ( ( v  .R  u )  +R  ( w  .R  f
) ) >. )
) }
3817, 29, 37ovi3 6028 1  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  x.  <. C ,  D >. )  =  <. ( ( A  .R  C )  +R  ( -1R  .R  ( B  .R  D ) ) ) ,  ( ( B  .R  C )  +R  ( A  .R  D ) ) >.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   <.cop 3610    X. cxp 4639  (class class class)co 5891   {coprab 5892   R.cnr 7314   -1Rcm1r 7317    +R cplr 7318    .R cmr 7319   CCcc 7827    x. cmul 7834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323  df-lti 7324  df-plpq 7361  df-mpq 7362  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-plqqs 7366  df-mqqs 7367  df-1nqqs 7368  df-rq 7369  df-ltnqqs 7370  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-0nq0 7443  df-plq0 7444  df-mq0 7445  df-inp 7483  df-i1p 7484  df-iplp 7485  df-imp 7486  df-enr 7743  df-nr 7744  df-plr 7745  df-mr 7746  df-m1r 7750  df-c 7835  df-mul 7841
This theorem is referenced by:  mulresr  7855  mulcnsrec  7860  axmulcl  7883  axi2m1  7892  axcnre  7898
  Copyright terms: Public domain W3C validator