ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Unicode version
Theorem mulcnsr 8022
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 7941 . . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A .R C ) e. R. )
21ad2ant2r 509 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R C ) e. R. )
3 m1r 7939 . . . . 5 |- -1R e. R.
4 mulclsr 7941 . . . . . 6 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B .R D ) e. R. )
54ad2ant2l 508 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R D ) e. R. )
6 mulclsr 7941 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( B .R D ) e. R. ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
73, 5, 6sylancr 414 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
8 addclsr 7940 . . . 4 |- ( ( ( A .R C ) e. R. /\ ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
92, 7, 8syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
10 mulclsr 7941 . . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ C e. R. ) -> ( B .R C ) e. R. )
1110ad2ant2lr 510 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R C ) e. R. )
12 mulclsr 7941 . . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ D e. R. ) -> ( A .R D ) e. R. )
1312ad2ant2rl 511 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R D ) e. R. )
14 addclsr 7940 . . . 4 |- ( ( ( B .R C ) e. R. /\ ( A .R D ) e. R. ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
1511, 13, 14syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
16 opelxpi 4751 . . 3 |- ( ( ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. /\ ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
179, 15, 16syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
18 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> w = A )
19 simprl 529 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> u = C )
2018, 19oveq12d 6019 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w .R u ) = ( A .R C ) )
21 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> v = B )
22 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> f = D )
2321, 22oveq12d 6019 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v .R f ) = ( B .R D ) )
2423oveq2d 6017 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( -1R .R ( v .R f ) ) = ( -1R .R ( B .R D ) ) )
2520, 24oveq12d 6019 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) = ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) )
2621, 19oveq12d 6019 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v .R u ) = ( B .R C ) )
2718, 22oveq12d 6019 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w .R f ) = ( A .R D ) )
2826, 27oveq12d 6019 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) = ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) )
2925, 28opeq12d 3865 . 2 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
30 df-mul 8011 . . 3 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
31 df-c 8005 . . . . . . 7 |- CC = ( R. X. R. )
3231eleq2i 2296 . . . . . 6 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
3331eleq2i 2296 . . . . . 6 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
3432, 33anbi12i 460 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
3534anbi1i 458 . . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
3635oprabbii 6059 . . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
3730, 36eqtri 2250 . 2 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
3817, 29, 37ovi3 6142 1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717  (class class class)co 6001   {coprab 6002   R.cnr 7484   -1Rcm1r 7487   +R cplr 7488   .R cmr 7489   CCcc 7997   x. cmul 8004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-i1p 7654  df-iplp 7655  df-imp 7656  df-enr 7913  df-nr 7914  df-plr 7915  df-mr 7916  df-m1r 7920  df-c 8005  df-mul 8011
This theorem is referenced by:  mulresr  8025  mulcnsrec  8030  axmulcl  8053  axi2m1  8062  axcnre  8068
  Copyright terms: Public domain W3C validator