ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Unicode version
Theorem mulcnsr 8192
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 8111 . . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A .R C ) e. R. )
21ad2ant2r 513 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R C ) e. R. )
3 m1r 8109 . . . . 5 |- -1R e. R.
4 mulclsr 8111 . . . . . 6 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B .R D ) e. R. )
54ad2ant2l 512 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R D ) e. R. )
6 mulclsr 8111 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( B .R D ) e. R. ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
73, 5, 6sylancr 418 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
8 addclsr 8110 . . . 4 |- ( ( ( A .R C ) e. R. /\ ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
92, 7, 8syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
10 mulclsr 8111 . . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ C e. R. ) -> ( B .R C ) e. R. )
1110ad2ant2lr 514 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R C ) e. R. )
12 mulclsr 8111 . . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ D e. R. ) -> ( A .R D ) e. R. )
1312ad2ant2rl 515 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R D ) e. R. )
14 addclsr 8110 . . . 4 |- ( ( ( B .R C ) e. R. /\ ( A .R D ) e. R. ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
1511, 13, 14syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
16 opelxpi 4801 . . 3 |- ( ( ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. /\ ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
179, 15, 16syl2anc 415 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
18 simpll 531 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> w = A )
19 simprl 535 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> u = C )
2018, 19oveq12d 6093 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w .R u ) = ( A .R C ) )
21 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> v = B )
22 simprr 537 . . . . . 6 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> f = D )
2321, 22oveq12d 6093 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v .R f ) = ( B .R D ) )
2423oveq2d 6091 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( -1R .R ( v .R f ) ) = ( -1R .R ( B .R D ) ) )
2520, 24oveq12d 6093 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) = ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) )
2621, 19oveq12d 6093 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v .R u ) = ( B .R C ) )
2718, 22oveq12d 6093 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w .R f ) = ( A .R D ) )
2826, 27oveq12d 6093 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) = ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) )
2925, 28opeq12d 3907 . 2 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
30 df-mul 8181 . . 3 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
31 df-c 8175 . . . . . . 7 |- CC = ( R. X. R. )
3231eleq2i 2305 . . . . . 6 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
3331eleq2i 2305 . . . . . 6 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
3432, 33anbi12i 464 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
3534anbi1i 462 . . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
3635oprabbii 6133 . . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
3730, 36eqtri 2259 . 2 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
3817, 29, 37ovi3 6216 1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3708   X. cxp 4767  (class class class)co 6075   {coprab 6076   R.cnr 7654   -1Rcm1r 7657   +R cplr 7658   .R cmr 7659   CCcc 8167   x. cmul 8174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-imp 7826  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-mr 8086  df-m1r 8090  df-c 8175  df-mul 8181
This theorem is referenced by:  mulresr  8195  mulcnsrec  8200  axmulcl  8223  axi2m1  8232  axcnre  8238
  Copyright terms: Public domain W3C validator