ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsr Unicode version
Theorem mulcnsr 7755
Description: Multiplication of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsr |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
Proof of Theorem mulcnsr
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulclsr 7674 . . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A .R C ) e. R. )
21ad2ant2r 501 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R C ) e. R. )
3 m1r 7672 . . . . 5 |- -1R e. R.
4 mulclsr 7674 . . . . . 6 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B .R D ) e. R. )
54ad2ant2l 500 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R D ) e. R. )
6 mulclsr 7674 . . . . 5 |- ( ( -1R e. R. /\ ( B .R D ) e. R. ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
73, 5, 6sylancr 411 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
8 addclsr 7673 . . . 4 |- ( ( ( A .R C ) e. R. /\ ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
92, 7, 8syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
10 mulclsr 7674 . . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ C e. R. ) -> ( B .R C ) e. R. )
1110ad2ant2lr 502 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R C ) e. R. )
12 mulclsr 7674 . . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ D e. R. ) -> ( A .R D ) e. R. )
1312ad2ant2rl 503 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R D ) e. R. )
14 addclsr 7673 . . . 4 |- ( ( ( B .R C ) e. R. /\ ( A .R D ) e. R. ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
1511, 13, 14syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
16 opelxpi 4618 . . 3 |- ( ( ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. /\ ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
179, 15, 16syl2anc 409 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
18 simpll 519 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> w = A )
19 simprl 521 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> u = C )
2018, 19oveq12d 5842 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w .R u ) = ( A .R C ) )
21 simplr 520 . . . . . 6 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> v = B )
22 simprr 522 . . . . . 6 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> f = D )
2321, 22oveq12d 5842 . . . . 5 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v .R f ) = ( B .R D ) )
2423oveq2d 5840 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( -1R .R ( v .R f ) ) = ( -1R .R ( B .R D ) ) )
2520, 24oveq12d 5842 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) = ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) )
2621, 19oveq12d 5842 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v .R u ) = ( B .R C ) )
2718, 22oveq12d 5842 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w .R f ) = ( A .R D ) )
2826, 27oveq12d 5842 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) = ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) )
2925, 28opeq12d 3749 . 2 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
30 df-mul 7744 . . 3 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
31 df-c 7738 . . . . . . 7 |- CC = ( R. X. R. )
3231eleq2i 2224 . . . . . 6 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
3331eleq2i 2224 . . . . . 6 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
3432, 33anbi12i 456 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
3534anbi1i 454 . . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) )
3635oprabbii 5876 . . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
3730, 36eqtri 2178 . 2 |- x. = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( ( w .R u ) +R ( -1R .R ( v .R f ) ) ) , ( ( v .R u ) +R ( w .R f ) ) >. ) ) }
3817, 29, 37ovi3 5957 1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   <.cop 3563   X. cxp 4584  (class class class)co 5824   {coprab 5825   R.cnr 7217   -1Rcm1r 7220   +R cplr 7221   .R cmr 7222   CCcc 7730   x. cmul 7737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-i1p 7387  df-iplp 7388  df-imp 7389  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648  df-mr 7649  df-m1r 7653  df-c 7738  df-mul 7744
This theorem is referenced by:  mulresr  7758  mulcnsrec  7763  axmulcl  7786  axi2m1  7795  axcnre  7801
  Copyright terms: Public domain W3C validator