ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnnsubcl GIF version

Theorem mulgnnsubcl 12881
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgnnsubcl ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnnsubcl
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 mulgnnsubcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝐵)
323ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
4 simp3 999 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
53, 4sseldd 3156 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
6 mulgnnsubcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgnnsubcl.p . . . 4 + = (+g𝐺)
8 mulgnnsubcl.t . . . 4 · = (.g𝐺)
9 eqid 2177 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
106, 7, 8, 9mulgnn 12875 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
111, 5, 10syl2anc 411 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12 nnuz 9549 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
13 1zzd 9266 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → 1 ∈ ℤ)
14 fvconst2g 5726 . . . . . 6 ((𝑋𝑆𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
154, 14sylan 283 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
16 simpl3 1002 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑋𝑆)
1715, 16eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝑆)
18 mulgnnsubcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
19183expb 1204 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
20193ad2antl1 1159 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2112, 13, 17, 20seqf 10444 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → seq1( + , (ℕ × {𝑋})):ℕ⟶𝑆)
2221, 1ffvelcdmd 5648 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) ∈ 𝑆)
2311, 22eqeltrd 2254 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  {csn 3591   × cxp 4621  cfv 5212  (class class class)co 5869  1c1 7800  cn 8905  seqcseq 10428  Basecbs 12442  +gcplusg 12515  .gcmg 12869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-seqfrec 10429  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-minusg 12768  df-mulg 12870
This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  12882  mulgsubcl  12883  mulgnncl  12884
  Copyright terms: Public domain W3C validator