Theorem mulgnn 13256

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnn.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn.s	|- S = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	|- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( S ` N ) )

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9345	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		mulgnn.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		mulgnn.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5		eqid 2196	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6		mulgnn.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		mulgnn.s	. . . 4 |- S = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13252	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) )
9	1, 8	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) )
10		nnne0 9018	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
11	10	neneqd 2388	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
12	11	iffalsed 3571	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) = if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) )
13		nngt0 9015	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
14	13	iftrued 3568	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) = ( S ` N ) )
15	12, 14	eqtrd 2229	. . 3 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) = ( S ` N ) )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) = ( S ` N ) )
17	9, 16	eqtrd 2229	1 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( S ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   < clt 8061   -ucneg 8198   NNcn 8990   ZZcz 9326   seqcseq 10539   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   invgcminusg 13133  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-minusg 13136  df-mulg 13250

This theorem is referenced by:  mulgnngsum  13257  mulg1  13259  mulgnnp1  13260  mulgnegnn  13262  mulgnnsubcl  13264  mulgnn0z  13279  mulgnndir  13281  submmulg  13296  subgmulg  13318