Theorem mulgnn 13731

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn.p	|- .+ = ( +g ` G )
mulgnn.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn.s	|- S = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn	|- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( S ` N ) )

Proof of Theorem mulgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9498	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		mulgnn.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
3		mulgnn.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
6		mulgnn.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		mulgnn.s	. . . 4 |- S = seq 1 ( .+ , ( NN X. { X } ) )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	mulgval 13727	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) )
9	1, 8	sylan 283	. 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) )
10		nnne0 9171	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
11	10	neneqd 2423	. . . . 5 |- ( N e. NN -> -. N = 0 )
12	11	iffalsed 3615	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) = if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) )
13		nngt0 9168	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
14	13	iftrued 3612	. . . 4 |- ( N e. NN -> if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) = ( S ` N ) )
15	12, 14	eqtrd 2264	. . 3 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) = ( S ` N ) )
16	15	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> if ( N = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < N , ( S ` N ) , ( ( invg ` G ) ` ( S ` -u N ) ) ) ) = ( S ` N ) )
17	9, 16	eqtrd 2264	1 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) = ( S ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   -ucneg 8351   NNcn 9143   ZZcz 9479   seqcseq 10710   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   0gc0g 13357   invgcminusg 13602  ._gcmg 13724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-0g 13359  df-minusg 13605  df-mulg 13725

This theorem is referenced by:  mulgnngsum  13732  mulg1  13734  mulgnnp1  13735  mulgnegnn  13737  mulgnnsubcl  13739  mulgnn0z  13754  mulgnndir  13756  submmulg  13771  subgmulg  13793