Theorem ndvdsi 12649

Description: A quick test for non-divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndvdsi.1	|- A e. NN
ndvdsi.2	|- Q e. NN0
ndvdsi.3	|- R e. NN
ndvdsi.4	|- ( ( A x. Q ) + R ) = B
ndvdsi.5	|- R < A

Assertion

Ref	Expression
ndvdsi	|- -. A || B

Proof of Theorem ndvdsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndvdsi.1	. . . . 5 |- A e. NN
2	1	nnzi 9619	. . . 4 |- A e. ZZ
3		ndvdsi.2	. . . . 5 |- Q e. NN0
4	3	nn0zi 9620	. . . 4 |- Q e. ZZ
5		dvdsmul1 12529	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> A || ( A x. Q ) )
6	2, 4, 5	mp2an 426	. . 3 |- A || ( A x. Q )
7		zmulcl 9652	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> ( A x. Q ) e. ZZ )
8	2, 4, 7	mp2an 426	. . . 4 |- ( A x. Q ) e. ZZ
9		ndvdsi.3	. . . . 5 |- R e. NN
10		ndvdsi.5	. . . . 5 |- R < A
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( R e. NN /\ R < A )
12		ndvdsadd 12647	. . . 4 |- ( ( ( A x. Q ) e. ZZ /\ A e. NN /\ ( R e. NN /\ R < A ) ) -> ( A || ( A x. Q ) -> -. A || ( ( A x. Q ) + R ) ) )
13	8, 1, 11, 12	mp3an 1374	. . 3 |- ( A || ( A x. Q ) -> -. A || ( ( A x. Q ) + R ) )
14	6, 13	ax-mp 5	. 2 |- -. A || ( ( A x. Q ) + R )
15		ndvdsi.4	. . 3 |- ( ( A x. Q ) + R ) = B
16	15	breq2i 4123	. 2 |- ( A || ( ( A x. Q ) + R ) <-> A || B )
17	14, 16	mtbi 677	1 |- -. A || B

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   + caddc 8147   x. cmul 8149   < clt 8325   NNcn 9258   NN0cn0 9517   ZZcz 9598   || cdvds 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-dvds 12504

This theorem is referenced by:  5ndvds3  12650  5ndvds6  12651  dec5dvds  13140