Theorem ndvdsi 12288

Description: A quick test for non-divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndvdsi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
ndvdsi.2	⊢ 𝑄 ∈ ℕ0
ndvdsi.3	⊢ 𝑅 ∈ ℕ
ndvdsi.4	⊢ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
ndvdsi.5	⊢ 𝑅 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
ndvdsi	⊢ ¬ 𝐴 ∥ 𝐵

Proof of Theorem ndvdsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndvdsi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9400	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
3		ndvdsi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 9401	. . . 4 ⊢ 𝑄 ∈ ℤ
5		dvdsmul1 12168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄))
6	2, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄)
7		zmulcl 9433	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ)
8	2, 4, 7	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ
9		ndvdsi.3	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ
10		ndvdsi.5	. . . . 5 ⊢ 𝑅 < 𝐴
11	9, 10	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)
12		ndvdsadd 12286	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)))
13	8, 1, 11, 12	mp3an 1350	. . 3 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅))
14	6, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)
15		ndvdsi.4	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
16	15	breq2i 4055	. 2 ⊢ (𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝐴 ∥ 𝐵)
17	14, 16	mtbi 672	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∥ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951   + caddc 7935   · cmul 7937   < clt 8114  ℕcn 9043  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379   ∥ cdvds 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143

This theorem is referenced by:  5ndvds3  12289  5ndvds6  12290  dec5dvds  12779